Dois cubos idênticos, de aresta igual a 1 dm, foram unidos com sobreposição perfeita de duas das suas faces. P é vértice de um dos cubos, Q é vértice do outro cubo e R é vértice compartilhado por ambos os cubos, conforme indica a figura.
A área do triângulo de vértices P, Q e R é igual a
(A) \( \dfrac{\sqrt{6}}{2} dm^2 \)
(B) \( \dfrac{\sqrt{6}}{3} dm^2 \)
(C) \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} dm^2 \)
(D) \( \dfrac{\sqrt{6}}{6} dm^2 \)
(E) \( \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} dm^2 \)
Revisão
A medida da diagonal de um quadrado lado \( \ell \) é dada por \( d = \ell \sqrt{2} \)
A medida da diagonal de um cubo de aresta \(a\) é dada por \(D = a \sqrt{3} \)
Fórmula de Herão
A área de um triângulo cujos lados possuem medidas \(a,b,c\) é dada por \(A = \sqrt{p \cdot(p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}\) onde \(p = \dfrac{a+b+c}{2} \) é o semiperímetro do triângulo.
Resolução
Inicialmente, vamos traçar o triângulo \(PQR\), conforme a figura a seguir.
Vamos chamar de \(S\) o vértice oposto a \(P\), teremos dois planos \(PRS\) e \(RQS\) perpendiculares.
Note que \(PR\) é a diagonal da face do primeiro cubo, logo é uma bissetriz dessa face, o mesmo ocorrendo com \(SQ\) no segundo cubo, com isso temos a perpendicularidade entre os planos.
Como \( PR \) é perpendicular ao plano \(RSQ\) teremos \(PR \perp RQ\), ou seja, o triângulo \(PRQ\) é retângulo.
A área de um triângulo retângulo pode ser obtida pela fórmula \(A = \dfrac{b \cdot h}{2} \) tomando um cateto como base \((b)\) e outro cateto como altura \((h)\).
Usando as relações dadas na revisão e, sabendo as medida das arestas do cubo = 1dm, teremos os catetos \( PR \) a diagonal de um quadrado de lado unitário e RQ a diagonal de um cubo de lado unitário.
\[PR = \sqrt{2} \\ RQ = \sqrt{3} \]
A área do triângulo \(PQR\) será:
\[A = \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} \\ A = \dfrac{\sqrt{6}}{2}dm^2\]
Gabarito
Alternativa (A) \( \dfrac{\sqrt{6}}{2} dm^2 \)
Caso você não tenha conseguido visualizar a perpendicularidade com a qual desenvolvemos essa resolução, após obter as medidas de \(PR\) e \(RQ\), como próximo passo devemos obter a medida de \(PQ\).
Observando a vista frontal da figura, notamos que podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para obter a medida \(PQ\).
\[ (PQ)^2 = 1^2 + 2^2 \\ (PQ)^2 = 1+4 \\ (PQ)^2 = 5 \\ PQ = \sqrt{5} \]
Com essas medidas, vamos verificar se o triângulo \(PQR\) é retângulo, novamente usando o Teorema de Pitágoras:
\[(PQ)^2 = (PR)^2 + (RQ)^2 \\ \sqrt{5}^2 = \sqrt{2}^2 + \sqrt{3}^2\\ 5 = 2 + 3 \\ 5 = 5\]
Confirmado que o triângulo \(PQR\) é retângulo, repetimos o cálculo:
\[A = \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} \\ A = \dfrac{\sqrt{6}}{2}dm^2\]
E, por fim, se essas relações não ficaram evidentes, uma vez que já sabemos as medidas dos lados, vamos pela fórmula de Herão.
\[ p = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2} \]
\[ A=\sqrt{\left( \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left( \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}-\sqrt{2}\right) \cdot \left( \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}-\sqrt{3}\right) \cdot \left( \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}-\sqrt{5}\right)} \]
\[ A=\sqrt{\left( \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left( \dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left( \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left( \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}\right) } \]
\[A = \sqrt{\left( \dfrac{(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 – 2}{4}\right) \cdot \left(\dfrac{2\sqrt{15} – 6} {4} \right) }\]
\[ A = \sqrt{\left( \dfrac{2\sqrt{15} + 6}{4 } \right) \cdot \left( \dfrac{2\sqrt{15} – 6}{4 } \right) }\]
\[ A = \sqrt{\dfrac{60 – 36}{16}} \]
\[ A = \sqrt{\dfrac{24}{16}} \]
\[ A = \dfrac{2\sqrt{6}}{4}\]
\[ A = \dfrac{\sqrt{6}}{2} dm^2\]
O que confirma a alternativa (A) \( \dfrac{\sqrt{6}}{2} dm^2 \) do gabarito