No plano cartesiano, um quadrado tem um dos lados sobre o eixo x e a reta r contém a diagonal que passa pelo vértice A(–2, 15) do quadrado. Os pontos P e Q sobre os lados desse quadrado são tais que a medida do segmento PQ é igual à medida do lado do quadrado e a medida do segmento BQ é 3.
A reta s passa por P e é paralela à reta r, ou seja, r e s têm o mesmo coeficiente angular.
A equação da reta s é:
(A) \(y = -x + 3\)
(B) \(y = -2x + 3\)
(C) \(y = -x + 4\)
(D) \(y = -2x + 4\)
(E) \(y = -x + 1\)
Resolução
Inicialmente, vamos obter a medida do lado do quadrado.
Como um dos lados do quadrado está no eixo x e o ponto A(-2,15) tem ordenada 15, a medida do lado do quadrado é igual a 15.
Sabendo o lado, vamos obter o vértice oposto ao vértice A e o coeficiente angular da reta r.
O ponto A projeta no eixo x o outro vértice do quadrado em (-2,0) e, consequentemente, o vértice oposto ao A, o qual chamaremos de C será em (-2+15,0) = (13,0).
O coeficiente angular da reta r, que passa pelos pontos A(-2,15) e C(13,0) será dado por:
\[m_r = \dfrac{\Delta_y }{\Delta_x}\]
\[m_r = \dfrac{15 – 0}{-2-13}\]
\[m_r = \dfrac{15}{-15}\]
\[m_r = -1\]
Como a reta s é paralela à reta r, temos \(m_s = m_r = -1\).
Agora, vamos obter o ponto \(P \in s\)
Como BQ = 3, a distância QC = 15 – 3 = 12, sabendo que PQ = 15 (é igual ao lado da medida do quadrado), temos um triângulo retângulo, sendo PQ sua hipotenusa e QC e PC seus catetos, aplicando teorema de Pitágoras.
\[(PC)^2 + 12^2 = 15^2\]
\[(PC)^2 + 144 = 225\]
\[(PC)^2 = 225 -144 \]
\[(PC)^2 = 81 \]
\[ PC = \sqrt{81}\]
\[PC = \fbox{9}\]
Com essa distância conhecida, podemos obter a coordenada do ponto P, basta diminuir 9 unidades da abscissa do ponto C.
\[ P(13-9,0) \Rightarrow P(4,0)\]
Sabendo as coordenadas de \(P(4,0) \) usamos a fórmula:
\[y – y_p = m_s(x – x_p)\]
\[y – 0 = -1(x – 4)\]
\[y = -x +4 \]
Alternativa (C) \(y = -x + 4\)
💡Dica do Professor LG
Um quadrado com um dos lados sobre o eixo x, (ou sobre o eixo y), terá suas diagonais paralelas a bissetriz dos quadrantes pares e a bissetriz do quadrantes ímpares. A paralela à bissetriz dos quadrantes pares terá coeficiente angular igual a -1 (como na questão resolvida), a paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares terá coeficiente angular igual a 1.
Vale a pena decorar alguns ternos pitagóricos, o mais utilizado é o \((3,4,5)\). Esse terno gera outros por proporção \(3 \times (3,4,5) = (9,12,15)\). O conhecimento desse terno pitagórico permitiria determinar a medida do lado PC imediatamente.
📚 Quer aprofundar nesse tema ajudando esse projeto educativo ? Utilize o meu link Amazon e adquira a recomendação do Professor LG:
📙Fundamentos de Matemática Elementar — Volume 7, Geometria Analítica.
📚 Quer aprofundar nesse tema ajudando esse projeto educativo ? Utilize o meu link Amazon e adquira a recomendação do Professor LG:
📙Fundamentos de Matemática Elementar — Volume 9, Geometria Plana