Observe o padrão da sequência de figuras.
Mantido o padrão, a figura que terá a quantidade de bolas brancas superando a de bolas verdes em 286 será a de número
(A) 13.
(B) 18.
(C) 14.
(D) 16.
(E) 21.
Resolução
Inicialmente vamos desmembrar a sequência de figuras em duas sequências a de bolas brancas e a de bolas verdes.
A sequência de bolas brancas, conforme podemos observar, segue um padrão de quadrados perfeitos, temos \( \begin{cases} b_1 = 1^2 = 1 \\ b_2 = 2^2 = 4 \\ b_3 = 3^2 = 9 \\ b_4 = 4^2 = 16 \\ \vdots \\ b_n = n^2 \end{cases} \)
A sequência de bolas verde segue um padrão onde temos dois lados de mesma medida sendo a medida desses lados o sucessor do lado do quadrado das bolas brancas, veja como o esse padrão funciona: \( \begin{cases} v_1 = 4 \\ v_2 = 6 \\ v_3 = 8 \\ v_4 = 10 \\ \vdots \\ v_n = 2 \cdot (n+1) \end{cases} \)
Sabendo os dois padrões podemos montar uma função que calcula a diferença entre a quantidade de bolas brancas e verdes.
\[ d(n) = b_n – v_n \\ d(n) = n^2 – 2(n+1) \\ d(n) = n^2 – 2n – 2 \]
E, para encontrar a figura que terá a quantidade de bolas brancas superando a de bolas verdes em 286, devemos achar o valor de \(n\) tal que \(d(n) = 286\).
\[ d(n) = 286 \\ n^2 – 2n – 2 = 286 \\ n^2 -2n – 2 – 286 = 0 \\ n^2-2n-288 = 0 \]
💡 Dica do Professor LG
Quando temos uma equação do segundo grau numa prova de múltipla escolha podemos usar o método da soma e produto com as alternativas dadas.
\[ n^2-2n-288 = 0 \begin{cases} S = 2 \\ P = -288\end{cases} \]
Usando as alternativas para obter \(S = 2\)
(A) \(13 + (-11) = 2 \)
(B) \(18 + (-16) = 2 \)
(C) \(14 + (-12) = 2 \)
(D) \(16 + (-14) = 2 \)
(E) \(21 + (-19) = 2 \)
Testando \(P = -288 \)
(A) \(13 \cdot (-11) = -143 \)
(B) \(18 \cdot (-16) = \fbox{ -288} \)
(C) \(14 \cdot (-12) = -168 \)
(D) \(16 \cdot (-14) = -224 \)
(E) \(21 \cdot (-19) = -399 \)
Concluímos, portanto que na figura 18 a diferença entre bolas brancas e verdes será igual a 286, façamos uma verificação desse resultado.
\[ d(18) = 18^2 – 2\cdot 18 – 2 \\ d(18) = 324 – 36 – 2 \\ d(18) = \fbox{286} \]
Gabarito
Alternativa (B) 18.
💡 Dica do Professor LG
O teste de \(P =-288\) pode ser abreviado com algumas observações.
Multiplicação de números ímpares resulta em produto ímpar: Eliminaria as alternativas (A) e (E)
O algarismo das unidades determina o algarismo das unidades do produto: Eliminaria alternativa (D), pois temos unidade 6 multiplicado por unidade 4, isso resulta em um produto de unidade 4
Testaríamos apenas as alternativas (B) (final 8 e final 6 leva a produto com final 8) e (C) (final 4 e final 2 leva a produto com final 8).