Como parte de um projeto de revitalização urbana, uma prefeitura pretende construir, em uma praça, um espelho-d’água circular com 20 m de diâmetro. Em torno desse espelho-d’água, será instalada uma faixa de concreto destinada à circulação de visitantes, com 1,5 m de largura e 8 cm de espessura, conforme indicado no projeto.
Considere que o custo médio do concreto utilizado é de R$ 120,00 por metro cúbico. Despreze perdas de material e adote 3 como valor aproximado para π.
A despesa aproximada da prefeitura com a construção dessa faixa de concreto será de
A) R$ 1 269,60.
B) R$ 2 322,00.
C) R$ 288,00.
D) R$ 928,80.
E) R$ 795,00.
Revisão
O volume de um cilindro com raio = \( r \) e altura = \( h \) é dado pela fórmula
\[ V_m = \pi \cdot r^2 \cdot h \]
Mas, essa fórmula dá o volume de um cilindro maciço.
A pergunta que cabe agora é, qual será a fórmula do volume de um cilindro “oco” ?
Para responder essa pergunta devemos observar que ao invés de termos um círculo como base, temos uma coroa circular e, a fórmula para se obter a área de uma coroa circular, onde o raio maior é \(R\) e o menor é \(r\), é obtida calculando-se a diferença entre a área do círculo de raio maior e o de raio menor, sendo assim, temos:
\[ A = \pi R^2 – \pi r^2\]
Colocando \( \pi\) em evidência, teremos
\[ A = \pi (R^2 – r^2) \]
Se for conveniente, usamos o produto notável da diferença de quadrados:
\[ A = \pi (R+r)(R-r)\]
Agora, podemos estabelecer a fórmula do volume de um cilindro “oco”.
\[ V_o = \pi (R^2 – r^2) \cdot h\]
Ou, alternativamente:
\[ V_o = \pi (R+r)(R-r) \cdot h \]
Resolução
Para obter o volume da faixa de concreto, observando que é justamente o volume de um cilindro “oco”, precisamos determinar as medidas dos dos raios, o maior e o menor.
Como o diâmetro do espelho d’água é de 20m, o raio menor será a metade desse diâmetro, ou seja, \(r = 10m\).
O raio maior é obtido acrescentando \(1,5m\) ao raio menor,pois é justamente a largura da faixa destinada à circulação de visitantes.
\[ R = 10 + 1,5 = 11,5m\]
A altura foi dada em centímetros e, para o cálculo do volume vamos converte-la para metros.
\[ h = 8cm = (8 \div 100)m = 0,08m\]
O volume da faixa de concreto será:
Método I
\[V = \pi (11,5^2 – 10^2) \cdot 0,08 \\ V = \pi (132,25 -100) \cdot 0,08 \\ V = \pi \cdot 32,25 \cdot 0,08 \\ V = \pi \cdot 2,58 \]
Método II
\[V = \pi (11,5+10)\cdot(11,5-10) \cdot 0,08 \\ V = \pi (21,5) \cdot(1,5) \cdot 0,08 \\ V = \pi \cdot 32,25 \cdot 0,08 \\ V = \pi \cdot 2,58 \]
Adotando a aproximação sugerida no enunciado \((\pi = 3)\), teremos
\[V = 3 \cdot 2,58 \\ V = 7,74m^3\]
Usando o preço médio do metro cúbico do concreto, que é de R$ 120,00, vamos calcular o custo (C)
\[ C = 120 \cdot 7,74 \\ C = 928,80 \]
Portanto, temos R$ 928,80 como despesa aproximada da prefeitura com a construção dessa faixa de concreto.
Gabarito
Alternativa D) R$ 928,80.
💡 Dica do Professor LG
Enxergar que o volume do cilindro pode ser desmembrado como volume igual a área da base vezes a altura é o que permite deduzir o volume do cilindro “oco”. Quanto melhor a sua base mais segurança você terá em desenvolver as suas próprias deduções.