Dado um número real x, o símbolo \( \lfloor x \rfloor \) indica o maior número inteiro que é menor ou igual a \(x\).
Por exemplo, \( \left\lfloor \dfrac{11}{4} \right\rfloor = 2, \lfloor \pi \rfloor = 3 \text{ e } \lfloor 5 \rfloor = 5\). Utilizando-se essa definição,
a soma dos termos da sequência \( \lfloor -4 \rfloor + \lfloor -3,9 \rfloor +\lfloor -3,8 \rfloor +\lfloor -3,7 \rfloor +\lfloor -3,6 \rfloor + \ldots +\lfloor 2 \rfloor \) é igual a
(A) –92.
(B) –34.
(C) –88.
(D) –52.
(E) –90.
Resolução
Esse tipo de função \( \lfloor x \rfloor \) é chamada de função piso e o próprio enunciado explica como obtermos \( \lfloor x \rfloor \). O que, propositalmente o enunciado fez foi mostrar apenas exemplos com valores positivos e pedir um resultado envolvendo valores negativos e positivos, então vamos ver como a função piso funciona nesses casos.
Como exemplo, tomemos dois inteiros consecutivos com um racional neste intervalo e, com uma flecha, vamos apontar para que lado o número racional vai.
Caso positivo
\[ \fbox{3} \ \Leftarrow 3,5 \qquad 4 \\ \lfloor 3,5 \rfloor = 3 \]
Caso negativo
\[ \fbox{-4} \ \Leftarrow -3,5 \qquad -3 \\ \lfloor -3,5 \rfloor = -4\]
💡 Dica do Professor LG
Ao pensarmos na reta numérica ordenada, a função piso aponta sempre para o número menor, intuitivamente podemos pensar, se \( \lfloor 3,5 \rfloor = 3\) então, \( \lfloor -3,5 \rfloor = -3 \). A banca quis trazer essa armadilha, mas olhando o exemplo dado, sabemos que \( \lfloor -3,5 \rfloor = -4 \), pois \(-4 < -3,5\).
Agora, vamos separar as parcelas, pensando em blocos de números com o mesmo piso.
\[ \underbrace { \lfloor -4 \rfloor = \lfloor -3,9 \rfloor = \lfloor -3,8 \rfloor = \cdots = \lfloor -3,1 \rfloor}_{10 \text{ termos }} = -4 \]
\[ \underbrace { \lfloor -3 \rfloor = \lfloor -2,9 \rfloor = \lfloor -2,8 \rfloor = \cdots = \lfloor -2,1 \rfloor }_{10 \text{ termos }}= -3 \]
\[ \underbrace { \lfloor -2 \rfloor = \lfloor -1,9 \rfloor = \lfloor -1,8 \rfloor = \cdots = \lfloor -1,1 \rfloor }_{10 \text{ termos }} = -2 \]
\[ \underbrace { \lfloor -1 \rfloor = \lfloor -0,9 \rfloor = \lfloor -0,8 \rfloor = \cdots = \lfloor -0,1 \rfloor }_{10 \text{ termos }} = -1 \]
\[ \underbrace { \lfloor 0 \rfloor = \lfloor 0,1 \rfloor = \lfloor 0,2 \rfloor = \cdots = \lfloor 0,9 \rfloor }_{10 \text{ termos }} = 0 \]
\[ \underbrace { \lfloor 1 \rfloor = \lfloor 1,1 \rfloor = \lfloor 1,2 \rfloor = \cdots = \lfloor 1,9 \rfloor }_{10 \text{ termos }} = 1 \]
\[ \lfloor 2 \rfloor = 2 \]
Agora, podemos obter a soma pedida no enunciado:
\[ \lfloor -4 \rfloor + \lfloor -3,9 \rfloor +\lfloor -3,8 \rfloor +\lfloor -3,7 \rfloor +\lfloor -3,6 \rfloor + \ldots +\lfloor 2 \rfloor = \\
10 \cdot (-4) + 10 \cdot (-3) + 10 \cdot (-2) + 10 \cdot (-1) + 10 \cdot 0 + 10 \cdot 1 + 2 = \\ 10 \cdot (-4-3-2-1+0+1) + 2 = \\ 10 \cdot (-9) + 2 = \\ -90 + 2 = \fbox{-88} \]
Gabarito
Alternativa (C) –88.