A complacência pulmonar é uma medida usada em fisiologia respiratória para avaliar a capacidade dos pulmões de se expandirem quando submetidos a uma pressão. Em certos modelos simplificados, a pressão P, em mm de Hg, exercida nos pulmões está relacionada ao volume de ar inalado pela função válida para valores reais de x tais que x ∈ [0,1]:
P(x) = 12x − 12x²,
em que x representa o volume extra de ar inalado além do volume de repouso, em litros.
De acordo com esse modelo, é correto afirmar que a pressão máxima atingida é de
(A) 3,0 mmHg, quando x = 0,5 litro.
(B) 3,0 mmHg, quando x = 1 litro.
(C) 4,5 mmHg, quando x = 0,75 litro.
(D) 6,0 mmHg, quando x = 0,5 litro.
(E) 6,0 mmHg, quando x = 1 litro.
Resolução
O gráfico da função P(x) = 12x − 12x² é uma parábola com concavidade para baixo.
Como queremos a pressão máxima, vamos descobrir o vértice dessa parábola e verificar se não há conflito com a restrição x ∈ [0,1].
Sabemos que \(x_v = \dfrac{-b}{2a}\) e os coeficientes de P(x) são: \(\begin{cases} a = -12 \\b = 12 \\ c = 0 \end{cases}\)
Sendo assim, teremos:
\(x_v = \dfrac{-12}{2 \cdot (-12)}\)
\(x_v = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x_v = \fbox{0,5}\)
Podemos usar esse resultado pois não há problema com a restrição de x, visto que \(0,5 \in [0,1]\)
Temos a fórmula: \(y_v = – \dfrac{\Delta}{4a}\), mas ela é desnecessária quando sabemos a abscissa do vértice, dessa maneira, para obtermos yv , basta calcularmos o valor de P(xv), com xv = 0,5.
\(P(0,5) = 12 \cdot (0,5) – 12 \cdot (0,5)^2\)
\(P(0,5) = 6,0 – 12 \cdot (0,25)\)
\(P(0,5) = 6,0 – 3,0\)
\(P(0,5) = \fbox{3,0}\)
Observe no gráfico o comportamento de P(x) e seu veŕtice V(0,5; 3,0).
Como x é dado em litros e P é a pressão em mm Hg, a pressão máxima é atingida no vértice da parábola e isso resulta em 3,0 mmHg, quando x = 0,5 litro.
Alternativa (A)
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