Em um plano cartesiano, dois vértices de um triângulo equilátero estão sobre a reta de equação \(y = 2x-2\). O terceiro vértice desse triângulo está sobre a reta de equação \(y = 2x + 2\).
A altura desse triângulo, na mesma unidade de medida dos eixos cartesianos ortogonais, é igual a
(A) \( \dfrac{4 \sqrt{3}}{5 } \)
(B) \( \dfrac{3 \sqrt{3}}{4} \)
(C) \( \dfrac{2 \sqrt{5}}{5} \)
(D) \( \dfrac{4 \sqrt{5}}{5} \)
(E) \( \dfrac{ \sqrt{3}}{2} \)
Revisão
A distância entre o ponto \(P(x_0, y_0) \) e a reta \(r: ax + by + c = 0\) é obtida por:
\[ d_{P,r} = \left| \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|\]
Resolução
As duas retas \(y = 2x-2\) e \(y = 2x+2\) possuem o mesmo coeficiente angular, logo são paralelas, como temos dois vértices em uma das retas e um vértice na outra reta, para achar a altura do triângulo equilátero dadas essas condições, basta achar a distância entre um ponto de uma reta com a outra reta.
Façamos \(x = 0\) na reta \( y = 2x -2\)
\[ y = 2 \cdot 0 – 2 \\ y = -2\]
Temos o ponto \(P(0,-2)\) e agora, precisamos encontrar a distância entre \(P\) e a reta:
\[ y = 2x+2 \Leftrightarrow 2x-y+2=0 \]
Pela fórmula dada na revisão:
\[ d = \left| \dfrac{2\cdot 0 -1 \cdot (-2) +2}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right|\]
\[ d = \left| \dfrac{0 +2+2}{\sqrt{4+1}} \right|\]
\[ d = \left| \dfrac{4}{\sqrt{5}} \right|\]
\[ d = \dfrac{4 }{\sqrt{5}} \]
Racionalizando o denominador:
\[ d = \dfrac{4 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} \]
\[ d = \dfrac{4 \cdot \sqrt{5}}{5} \]
Como essa distância entre o ponto dado e a reta é igual a altura do triângulo, podemos marcar a resposta no gabarito.
Gabarito
Alternativa (D) \( \dfrac{4 \sqrt{5}}{5} \)
💡 Dica do Professor LG
Na figura abaixo temos duas retas paralelas com um vértice do triângulo contida em uma delas e os outros dois na outra.
Note que a altura do triângulo é obtida obtendo-se a distância entre o vértice e a outra reta.