Seja \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), definida por \(f(x) = x^2-2x-24\). Considerando-se no plano cartesiano de eixos ortogonais os pontos que representam os intersectos do gráfico dessa função com o eixo x, a distância entre eles é igual a
(A) 4,5.
(B) 2.
(C) 6.
(D) 10.
(E) 8,5.
Resolução
Precisamos descobrir quais são os valores de \(x\), para os quais \( f(x) = 0 \).
Para isso, iremos resolver a equação de segundo grau
\[x^2-2x-24 = 0\]
Pela fórmula resolvente
Temos: \( \begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \\ c = -24 \end{cases}\)
Calculando o discriminante:
\[ \Delta = b^2-4ac \\ \Delta = (-2)^2-4\cdot 1\cdot(-24) \\ \Delta = 4 + 96 \\ \Delta=\fbox{100}\]
Usando a fórmula resolvente:
\[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
\[ x = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{100}}{2\cdot1}\]
\[ x = \dfrac{2 \pm 10}{2}\]
O que nos dá:
Temos: \( \begin{cases} x_1 = \dfrac{2+10}{2} = \dfrac{12}{2} = \fbox{6} \\ x_2 = \dfrac{2-10}{2} = \dfrac{-8}{2} = \fbox{-4} \end{cases}\)
Portanto, a distância entre os intersectos do gráfico dessa função com o eixo x será:
\[d = |x_1 – x_2| \\ d = |6 -(-4)| \\ d = |6+4| \\ d = |10| \\ d = \fbox{10}\]
Por soma e produto
Se o coeficiente \(a\) de uma equação do segundo grau da forma \( ax^2 + bx +c = 0\) for igual a 1, podemos reescrevê-la na forma \(x^2 -Sx + P = 0\), onde \(S = \) soma das raízes e \(P = \) produto das raízes.
No caso da equação
\[x^2 – 2x – 24 = 0\]
Teremos: \( \begin{cases} S = 2 \\ P = -24 \end{cases}\)
Testando valores com as fatorações de -24.
\[ -1,24 \Rightarrow S = 23 \\ -2,12 \Rightarrow S = 10 \\ -3,8 \Rightarrow S = 5 \\ -4,6 \Rightarrow \fbox{S = 2} \]
E, conforme já verificado no primeiro método, teremos \(d = \fbox{10}\):
Gabarito
Alternativa (D) 10.
Generalizando
💡 Dica do Professor LG
Agora, que já obtivemos a alternativa de gabarito, vamos desenvolver um pouco de matemática e obter uma maneira que calcule a distância entre as raízes de forma direta. Essa forma pode ser reaplicada em questões similares:
Seja \(ax^2 + bx + c = 0 \qquad (a \neq 0)\) e suas raízes dadas por
\[\begin{cases} x_1 =\dfrac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_2 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \end{cases}\]
A distância entre as duas raízes, será dada por
\[d = |x_1 – x_2|\]
\[ d = \left| \dfrac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a} – \left( \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\right| \]
\[ d = \left| \dfrac{-b+ \sqrt{\Delta} – (-b-\sqrt{\Delta})}{2a} \right| \]
\[ d = \left| \dfrac{-b+ \sqrt{\Delta} +b +\sqrt{\Delta}}{2a} \right| \]
\[ d = \left| \dfrac{2 \sqrt{\Delta} }{2a} \right| \]
\[ d = \left| \dfrac{ \sqrt{\Delta} }{a} \right| \]
Usando que em \(x^2 – 2x – 24\), temos
Temos: \( \begin{cases} a = 1 \\ \Delta = 100 \end{cases}\)
\[ d = \left| \dfrac{ \sqrt{100} }{1} \right| \]
\[ d = |10| \]
\[d = \fbox{10}\]