O perímetro de um retângulo é de 18 cm. Esse perímetro foi dividido em 18 segmentos de 1 cm e, em seguida, foram traçados \(\overline{AE}\) e \( \overline{BD}\) para a construção do triângulo \(ABC\), como mostra a figura.
A área do triângulo \(ABC\), em cm², é igual a
(A) \( \dfrac{9}{5} \)
(B) \( \dfrac{33}{20} \)
(C) \( \dfrac{27}{16} \)
(D) \( \dfrac{5}{3} \)
(E) \( \dfrac{81}{50} \)
Resolução
Sabendo a base e a altura de um triângulo, podemos obter sua área, vamos obter essas medidas com as informações dadas no enunciado juntamente com uma análise da figura.
Na figura temos dois triângulos semelhantes: \(ABC \sim EDC\). Vamos estabelecer a altura de cada um deles de acordo com a figura a seguir.
O lado menor do retângulo é de 3cm, logo \( H + h = 3 \Rightarrow H = 3 – h\).
Os triângulos são semelhantes pelo caso Ângulo – Ângulo, note que no vértice \(C\) há ângulos opostos pelo vértice, o que nos garante a congruência \(A\hat{C}B \cong E\hat{C}D\) e, pelo caso de ângulos alternos internos, podemos escolher \(B\hat{A}C \cong D\hat{E}C\) ou \(A\hat{B}C \cong E\hat{D}C\).
Estabelecida a semelhança, vamos obter a medida de \(h\) e, posteriormente, a área do triângulo \(ABC\).
Temos as seguintes medidas nos dois triângulos
Triângulo \(ABC \Rightarrow \begin{cases} \text{base } = 3 \\ \text{altura } = h \end{cases}\)
Triângulo \(EDC \Rightarrow \begin{cases} \text{base } = 5 \\ \text{altura } = 3-h \end{cases}\)
Podemos estabelecer uma proporção entre bases e alturas:
\[\dfrac{5}{3} = \dfrac{3-h}{h}\]
Multiplicando em cruz:
\[ 5h = 3(3-h) \]
\[5h = 9-3h\]
\[5h+3h = 9\]
\[8h = 9\]
\[h = \dfrac{9}{8}\]
Temos todos os elementos para obter a área do triângulo \(ABC\)
\[A_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot \dfrac{9}{8}\]
\[A_{ABC} = \dfrac{1\cdot 3 \cdot 9}{2 \cdot 8}\]
\[A_{ABC} = \dfrac{27}{16}\]
Portanto, a área, em cm² do triângulo ABC é igual a \(\dfrac{27}{16}\) cm².
Gabarito
Alternativa (C) \( \dfrac{27}{16} \)
💡 Dica do Professor LG
Geralmente escrevemos a fórmula da área do triângulo da seguinte forma \(A = \dfrac{b \cdot h}{2}\), no exercício nós temos uma medida que está na forma fracionária e também podemos observar que as alternativas também estão na forma fracionária e, por esse fato, optamos por escrever a fórmula da área como sendo \(A = \dfrac{1}{2}\cdot b \cdot h\).
Do ponto de vista matemático, não há diferença alguma, porém na parte operacional, evitamos ter uma fração como numerador de outra.