A figura indica o perfil de uma escada com degraus de mesmas alturas. As extensões dos degraus também são iguais, cada uma medindo 18 cm. Sabe-se também que a medida de \( \overline{PQ} \) é 9 m e que o ângulo de vértice \(P\) e lados \( \overrightarrow{PQ} \) e \( \overrightarrow{PR}\) mede 60º.
O número de degraus dessa escada é
(A) 24.
(B) 28.
(C) 30.
(D) 20.
(E) 25.
Resolução
Conforme podemos observar na figura abaixo, \(PQR\) é um triângulo retângulo sendo o lado \(\overline{PQ}\) sua hipotenusa e o cateto \(\overline{PR}\) adjacente ao ângulo de 60°.
A relação trigonométrica entre cateto adjacente e hipotenusa é o cosseno, dessa forma, teremos:
\[ \cos 60^{\circ} = \dfrac{PR}{PQ}\]
Sabemos a medida de \(PQ = 9\text{ m} = 900 \text{ cm} \) e, usando \( \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}\), podemos calcular a distância \(PR\) em centímetros.
💡 Dica do Professor LG
Ao observarmos que as extensões dos degraus estão dadas em centímetros, optamos por converter a medida da hipotenusa para centímetros também, visando uma padronização coerente com os cálculos que ainda desenvolveremos no restante da resolução.
\[ \dfrac{PR}{PQ} = \dfrac{1}{2}\]
\[ \dfrac{PR}{900} = \dfrac{1}{2}\]
Multiplicando ambos os lados por 900:
\[ PR = \dfrac{900}{2}\]
\[PR = \fbox{450}\]
Como cada degrau é projetado no lado \( \overline{PR}\), a soma das medidas de todas as projeções coincidirá com a medida da distância \(PR\).
Para obter a quantidade \(Q_d\) de degraus devemos dividir os 450 de \(PR\) por 18 que é a medida da extensão de cada um dos degraus, considerando que ambas já estão dadas em centímetros.
\[Q_d = 450 \div 18\]
\[ Q_d = 25\]
Portanto, a escada terá 25 degraus.
Gabarito
Alternativa (E) 25.