Um trapézio ABCD foi dividido em um retângulo ADEF e um trapézio BCEF, conforme mostra a figura. O ponto E é médio do lado CD, o segmento BF mede 5 cm a mais do que o segmento AF, e o segmento AD mede 1 cm a mais do que o segmento DE.
Sabendo que a área do trapézio BCEF excede em 10 cm² a área do retângulo ADEF, a medida do lado AB é igual a
(A) 8 cm.
(B) 7 cm.
(C) 9 cm.
(D) 10 cm.
(E) 11 cm.
Resolução
Inicialmente, vamos chamar de x a medida do segmento AF e ver as consequências dessa escolha.
Como AF é a projeção de DE no segmento AB e o ponto E é médio do lado CD, temos:
\( AF = DE = EC = x \)
\( BF = x+5 \)
\( AD = x+1 \)
Agora, vamos usar informação sobre as áreas.
Determinando que a área do retângulo \( ADEF = S \), teremos que a área do trapézio \(BCEF = S +10\)
Agora, vamos traçar um segmento partindo do ponto C até chegar, perpendicularmente, ao lado AB, determinando um ponto G.
Desta forma, teremos as medidas FG = x e GB = 5 cm.
Consequentemente, esse segmento, dividirá a figura em dois retângulos de mesma área S e um triângulo cuja área será igual a 10 cm².
Projetando AD em CG, temos agora o triângulo retângulo CGB com catetos medindo 5 e \( x+1 \) e área de 10 cm², isso nos permite encontrar o valor de x.
Pela fórmula da área do triângulo, temos:
\( A_{\Delta} = \dfrac{5 \cdot (x+1)}{2} \)
Como conhecemos essa área:
\( \dfrac{5 \cdot (x+1)}{2} = 10 \)
\( x+1 = \dfrac{2 \cdot 10}{5} \)
\( x + 1 = \dfrac{20}{5} \)
\( x+1 = 4 \)
\( x = 4 – 1\Rightarrow x = \fbox{3} \)
Com essa informação, podemos obter a medida do segmento AB.
\( AB = x + x + 5 = 2x + 5 \)
\( AB = 2 \cdot 3 + 5 \)
\( AB = 6 + 5 = \fbox {11} \)
Concluímos que a medida do lado AB é igual a 11cm, o que nos dará:
Alternativa (E) 11 cm.