No plano, o segmento PS intersecta os lados do quadrado ABCD nos pontos Q e R, conforme a figura.
a) Se a medida x do segmento PA for igual a 9 cm, qual será a área do quadrado ABCD?
b) Se a medida y do segmento RS for igual a 14 cm, qual será a área do triângulo QRT?
Resolução (a)
Observando a figura, podemos notar que o lado do quadrado ABCD tem a mesma medida que o lado QT do triângulo QRT.
Como os triângulos QRT e PQA são triângulos retângulos semelhantes, seus lados são proporcionais e podemos usar uma regra de três simples para obter a medida de QT.
\(\dfrac{10}{9} = \dfrac{12}{(QT)}\)
Multiplicando em cruz:
\(10(QT) = 12 \cdot 9\)
\(QT = \dfrac{108}{10}\)
\(QT = 10,8\)
Agora, que conhecemos o lado do quadrado ABCD (10,8 cm), podemos calcular sua área:
\(A_{\square} = 10,8^2\)
\(A_{\square} = 116,64\)
Portanto, a área do quadrado ABCD é de 116,64 cm²
Resolução (b)
Inicialmente, vamos prolongar o segmento PB até um ponto V, coincidente com a projeção perpendicular de S nesse segmento.
Dessa forma, teremos que os triângulos QRT e PSV são semelhantes, o que nos permite estabelecer a seguinte relação:
\(\dfrac{SV}{RT} = \dfrac{10+12+14}{12}\)
\(\dfrac{SV}{RT} = \dfrac{36}{12}\)
\(\dfrac{SV}{RT} = 3\)
\(SV = 3(RT)\)
Como SV coincide com o lado do quadrado ABCD e também a medida do lado do quadrado é igual a medida de QT, temos a seguinte relação entre os catetos do triângulo QRT
\(QT = 3(RT)\)
Antes de aplicar o teorema de Pitágoras, vamos focar no que o exercício pede, ou seja, a área do triângulo QRT
\(A_{\Delta} = \dfrac{(QT) \cdot (RT)}{2}\)
\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT) \cdot (RT)}{2}\)
\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT)^2}{2}\)
Note que com essas substituições feitas, a área do triângulo QRT depende unicamente de descobrirmos a medida de (RT)², a qual será obtida aplicando o Teorema de Pitágoras.
\((RT)^2 + (QT)^2 = 12^2\)
\((RT)^2 + [3\cdot (RT)]^2 = 144\)
\((RT)^2 + 9 \cdot (RT)^2 = 144\)
\(10 \cdot (RT)^2 = 144\)
\((RT)^2 = \dfrac{144}{10}\)
\((RT)^2 = 14,4\)
Agora que descobrimos \((RT)^2\), podemos obter a área do triângulo QRT:
\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT)^2}{2}\)
\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot 14,4}{2}\)
\(A_{\Delta} = \dfrac{43,2}{2}\)
\(A_{\Delta} = \fbox{21,6}\)
Concluímos que a área do triângulo QRT é de 21,6 cm².