A figura mostra um quadrado ABCD, dividido em 4 quadrados e um retângulo, e o segmento com extremidades nos vértices C e P desses polígonos.
Sabendo que o segmento CP mede 15 cm, o perímetro do retângulo é igual a
(A) 35 cm.
(B) 30 cm.
(C) 32 cm.
(D) 24 cm.
(E) 25 cm.
Resolução
Vamos chamar a medida do segmento \(AP\) de \(x \), consequentemente teremos \(PB = 3x\) e \(BC = 4x \), conforme podemos observar na figura a seguir.
O enunciado pede o perímetro do retângulo, o qual destacamos em amarelo, para isso, precisamos descobrir a medida de \(x \).
No triângulo retângulo \(BCP \), temos dois catetos medindo \(3x\) e \(4x\) e a hipotenusa \(CP \) medindo 15 cm. Podemos, neste caso, aplicar o Teorema de Pitágoras.
\( (3x)^2 + (4x)^2 = 15^2 \)
\(9x^2 + 16x^2 = 225 \)
\(25x^2 = 225 \)
\(x^2 = \dfrac{225}{25} \)
\(x^2 = 9\)
\(x = \sqrt{9} \Rightarrow x = \fbox{3} \)
O retângulo tem base \(x = 3\) e altura \(4x = 4\cdot 3 = 12\), logo seu perímetro será:
\(2p = 2\cdot (3+12) \)
\(2p = 2\cdot 15 \)
\(2p = 30 \)
Alternativa (B) 30 cm.
💡Dica do Professor LG
Quando definimos o lado do quadrado menor como \(x\), naturalmente os três quadrados de baixo ficaram com a mesma medida de lado, note que a altura era a mesma. Com isso definimos que o lado do quadrado médio era igual a \(3x\) e pelo fato dos lados do quadrado médio e um dos quadrados pequenos coincidirem com o lado do quadrado grande, conseguimos a medida \(4x\).
📐 Estudar questões que envolvem triângulos retângulos fica mais fácil com um bom kit de réguas escolares. Se você precisa de materiais para seus estudos, utilize meu link da Amazon — é uma forma simples de apoiar esse projeto educativo.
🛒 O Professor LG recomenda: 📐 Kit de réguas escolares na Amazon
📚 Quer aprofundar nesse tema? Minha recomendação é o capítulo Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo do Fundamentos de Matemática Elementar — Volume 3, Trigonometria.