A figura indica o retângulo \(FAME\) e o losango \(MERP\) desenhados, respectivamente, em uma parede e no chão a ela perpendicular. O ângulo \(M\hat{E}R\) mede 120º, \(ME = 2\) m e a área do retângulo \(FAME\) é igual a 12 m².
Na situação descrita, a medida de \(\overline{RA}\) é
(A) \( 3 \sqrt{3}\) m
(B) \( 4 \sqrt{3}\) m
(C) \( 5 \sqrt{2}\) m
(D) \( 3 \sqrt{2}\) m
(E) \( 4 \sqrt{2}\) m
Resolução
Inicialmente vamos usar a perpendicularidade entre a parede quer contém o retângulo \(FAME\) e o chão que contém o losango \(MERP\).
O lado \( \overline{AM}\) do retângulo \(FAME\) é perpendicular ao plano do chão, como consequência temos \(AM \perp MR\).
Isso nos dá que o triângulo \(AMR\) é retângulo, sendo \(\overline{AR}\) sua hipotenusa.
O enunciado nos dá informações para obtermos \(AM\) e \(MR\) e, após a obtenção dessas medidas, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para obtermos \(RA\).
Obtendo AM
Sabendo que a medida de \(ME= 2\) m e que a área do retângulo \(FAME = 12\) m², podemos obter a medida \(AM\):
\[(AM) \cdot 2 = 12 \\ AM = \dfrac{12}{2} \\ AM = 6\,m\]
Obtendo MR
Para obter a medida \(MR\), vamos usar o fato de \(MERP\) ser um losango e, consequentemente, seus lados são congruentes, isso nos dá que \(ME = ER = 2\) m.
Usando o ângulo \(MÊR = 120^{\circ}\), pela lei dos cossenos, teremos:
\[(MR)^2 = 2^2 + 2^2 – 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(120^{\circ} ) \]
\[(MR)^2 = 4 + 4 -8 \cdot \left(-\dfrac{1}{2} \right) \]
\[(MR)^2 = 8+4 \]
\((MR)^2 = 12 \) 💡
\[MR = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]
💡 Dica do Professor LG
Apesar de termos obtido o valor da medida de \(MR = 2 \sqrt{3}\), poderíamos ter economizado essa passagem visto que no Teorema de Pitágoras iremos usar \((MR)^2 = 12\).
Encontrando a medida de \(\overline{RA}\)
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
\[(RA)^2 = (AM)^2 + (MR)^2 \]
\[(RA)^2 = 6^2 + 12 \]
\[(RA)^2 = 36 + 12 \]
\[(RA)^2 = 48 \]
\[RA = \sqrt{48}\]
\[ RA = \sqrt{16\cdot 3}\]
\[RA = 4 \sqrt{3} \]
Lembrando que a medida é dada em metros, já podemos marcar a nossa resposta:
Gabarito
Alternativa (B) \( 4 \sqrt{3}\) m