O pentágono da figura ao lado tem ângulos retos \( \hat{A}, \hat{B} \text{ e } \hat{C}\). Conhecendo as medidas dos lados \(AE = 15, AB = 12, BC = 7 \text{ e } CD = 5\), assinale a alternativa que corresponde ao valor da tangente do ângulo \( \theta = \hat{E}\).
A) 4/5
B) 5/4
C) 5/8
D) 8/7
E) 7/8
Resolução
Para resolver essa questão, vamos anotar as medidas dadas e prolongar o lado \(CD\) que chegará, perpendicularmente, no ponto \(F\) pertencente ao lado \(EA\).
Conforme podemos observar na figura a seguir, temos que \(FC = AB = 12\) e que \(AF = BC = 7 \):
Pelo triângulo retângulo \(DEF\) podemos obter a tangênte do ângulo \(\theta\) usando a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo \(\theta\), ou seja, \( \operatorname{tg} \theta = \dfrac{DF}{FE} \).
Obtendo \(DF\)
\[ CD + DF = CF \]
\[ 5 + DF = 12 \]
\[DF = 12-5\]
\[DF = \fbox{7}\]
Obtendo \(FE\)
\[ AF + FE = AE \]
\[ 7 + FE = 15 \]
\[FE = 15-7\]
\[FE = \fbox{8}\]
Finalizamos obtendo a tangente do ângulo \(\theta\)
\[ \operatorname{tg} \theta = \dfrac{DF}{FE} \]
\[ \operatorname{tg} \theta = \dfrac{7}{8} \]
Gabarito
Alternativa E) 7/8