Sobre uma região retangular R, foi construído um cubo sólido de maneira que ele tivesse um vértice em comum com R e dois vértices sobre os lados de R. Um outro cubo, oco, que ocupa um volume de 125 m³, foi construído de modo a ter dois vértices em comum com R e um vértice em comum com o cubo sólido, conforme mostra a figura, que também indica que a inclinação do cubo oco em relação à região R é igual a β.
Sabendo que \( \operatorname{tg} \beta = \dfrac{3}{4} \), a área de R não ocupada pelo cubo sólido é igual a
A) 26 m².
B) 24 m².
C) 30 m².
D) 28 m².
E) 20 m².
Resolução
Inicialmente vamos calcular a medida das arestas do cubo oco cujo volume é igual a 125 m³.
\[V = a^3\]
\[a^3 = 125\]
\[ a= \sqrt[3]{125}\]
\[ a = 5\]
Agora, vamos obter as medidas dos lados do triângulo cuja hipotenusa coincide com uma aresta do cubo oco, um cateto coincide com uma aresta do cubo sólido e o outro cateto sendo a projeção da hipotenusa sobre a lateral de R, conforme destacado na figura:
Como \( \operatorname{tg} \beta = \dfrac{3}{4} \), temos que a razão entre o cateto oposto (aresta do cubo sólido) e cateto adjacente (projeção da hipotenusa sobre a lateral de R) guardam a mesma razão.
Usando o fato que a hipotenusa é 5, temos o conhecido terno pitagórico (3,4,5). Caso você não tenha identificado o terno pitagórico, podemos usar um fator \(k\) e determinar a medida do cateto oposto de \(3k\) e a medida do cateto adjacente de \(4k\) e aplicar o teorema de Pitágoras.
\[(3k)^2 + (4k)^2 = 5^2\]
\[9k^2 + 16k^2 = 25\]
\[ 25k^2 = 25 \]
\[ k^2 = \dfrac{25}{25}\]
\[ k^2 = 1 \to k = 1 \]
Logo os catetos têm medidas de 3 e 4 metros.
Determinadas essas medidas, vamos focar na área do retângulo.
Um dos lados do retângulo tem medida igual a aresta do cubo oco (5 m), o outro lado tem como medida a projeção da hipotenusa do triângulo na lateral de R, cujo valor acabamos de obter somada com a aresta do cubo sólido, sendo assim, esse lado mede 3 + 4 = 7 m.
A área de R é dada por;
\[R = 5 \cdot 7 = \fbox{35}\]
Desta área, devemos subtrair uma face do cubo sólido de aresta 3 m.
Como o formato dessa face é um quadrado, teremos:
\[A_f =3^2 = \fbox{9}\]
E com essas informações, podemos responder a questão:
A área de R não ocupada pelo cubo sólido é igual a
\[ R’ = 35 – 9 = \fbox{26} \]
Considerando que essa medida é dada em metros quadrados.