Um canteiro retangular ABCD, com 10 m de largura, foi dividido em 2 regiões, R1 e R2, por uma cerca que liga os pontos D, E e F, sendo F um ponto sobre o lado \( \overline{BC}\) e o segmento EF = 4m, paralelo ao lado \( \overline{CD}\), conforme mostra a figura.
Sabendo que a área da região R2 é igual a 56 m², o comprimento total da cerca que liga os pontos D, E e F é
(A) 18 m.
(B) 12 m.
(C) 20 m.
(D) 14 m.
(E) 16 m.
Revisão
Área do trapézio
- \(B\) = Base maior
- \(b\) = Base menor
- \(h\) = altura
\[ A = \dfrac{(B + b)h}{2}\]
Teorema de Pitágoras
- \(a \to \) Hipotenusa (Lado oposto ao ângulo reto)
- \(b\) e \(c \to \) Catetos (Lados que formam o ângulo reto)
\[ a^2 = b^2 + c^2 \]
Resolução
Para resolver essa questão, vamos fazer algumas anotações na figura dada.
Partindo de E, traçamos um segmento EG perpendicular à DC de medida \(h\) que divide a base maior do trapézio DEFC em dois segmentos DG e GC.
Usamos a área R2 = 56 m² para obter \(h\).
\[ R_2 = \dfrac{(10 + 4 )h}{2} \]
\[ R_2 = \dfrac{14h}{2} \]
\[R_2 = \fbox{7h}\]
Logo,
\[7h = 56\]
\[ h = \dfrac{56}{7} \Rightarrow h = \fbox{8}\]
Sabendo a medida \(h =8\) m, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo DEG para obter a medida \(DE = x\).
\[ x^2 = 6^2 + 8^2\]
\[x^2 = 36 + 64\]
\[x^2 = 100 \Rightarrow x = \fbox{10}\]
O comprimento total da cerca que liga os pontos D, E e F será dado pelos comprimentos DE + EF:
\[DE + EF = 10 + 4 = \fbox{14} \]
Gabarito
Alternativa (D) 14 m.
💡 Dica do Professor LG
Conhecer alguns ternos pitagóricos é uma vantagem competitiva em dia de prova.
Note que no triângulo DEG os catetos de medidas 6 e 8 fazem parte do terno (6,8,10).