Matemática para Vestibulares

Silvana vai à manicure a cada 2 semanas, à pedicure a cada 4 semanas e corta o cabelo a cada 7 semanas. Nessa semana Silvana fez tudo: foi à manicure, à pedicure e cortou o cabelo. Essa situação se repetirá em:
a) 14 semanas
b) 28 semanas
c) 42 semanas
d) 56 semanas

RESOLUÇÃO

Temos três eventos cíclicos que ocorreram simultaneamente nesta semana e queremos saber em quantas semanas eles voltarão a coincidir.

Esse é um caso clássico de Mínimo Múltiplo Comum (MMC).

Vamos montar uma tabela para calcular, por fatoração simultânea o MMC(2,4,7).

Multiplicando os fatores primos:
\(MMC(2,4,7) = 2 \times 2 \times 7 = \boxed{28}\)

A situação se repetirá em 28 semanas.

✅ Resposta correta: b) 28 semanas

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Certa semana, Josemar fez 3 viagens no trajeto A e 2 viagens no trajeto B. Nessa mesma semana, Carlos fez 5 viagens no trajeto C, apenas. Sabe-se que o trajeto B é 1 quilômetro maior do que o trajeto A, e que o trajeto C mede 1,9 quilômetro. Se naquela semana, em relação aos trajetos considerados, os totais percorridos por Josemar e por Carlos foram iguais, é correto afirmar que o trajeto A mede
(A) 2,0 quilômetros.
(B) 1,8 quilômetro.
(C) 1,5 quilômetro.
(D) 1,2 quilômetro.
(E) 2,5 quilômetros.

RESOLUÇÃO

Vamos modelar a questão com cada uma das informações fornecidas.

O trecho percorrido por Josemar que fez 3 viagens no trajeto A e 2 viagens no trajeto B, é dado por:
\(\boxed{3A + 2B}\)
Já o trecho percorrido por Carlos que fez 5 viagens no trajeto C:
\(\boxed{5C}\)

Sabemos também que o trajeto B é 1 quilômetro maior do que o trajeto A, e que o trajeto C mede 1,9 quilômetro.

\(\begin{cases} B = A + 1 \\ C = 1,9 \end{cases}\)

Os totais percorridos por Josemar e por Carlos foram iguais.

\(3A + 2B = 5C\)

Substituindo \(B = A+1\) e \(C = 1,9\), teremos:

\(3A + 2(A+1) = 5 \cdot 1,9\)

\(3A + 2A + 2 = 9,5\)

\(5A + 2 = 9,5\)

\(5A = 9,5 – 2\)

\(5A = 7,5 \)

\(A = \dfrac{7,5}{5} \Rightarrow A = \boxed{1,5}\)

Portanto, o trajeto A mede 1,5 quilômetro.

✅ Resposta correta: (C) 1,5 quilômetro.

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Assinale a alternativa na qual a negação da proposição foi feita de maneira incorreta.

a) Proposição: Fui ao cinema
Negação: Não fui ao cinema

b) Proposição: Vou comer uma salada e um filé de frango
Negação: Não vou comer uma salada e nem um filé de frango

c) Proposição: O gato tem pelagem laranja e usa uma coleira
Negação: O gato não tem pelagem laranja ou não usa uma coleira

d) Proposição: Se faz frio então chove
Negação: Faz frio e não chove

RESOLUÇÃO

Essa é uma excelente questão para praticar negações.

Vamos montar uma tabela com cada uma das proposições do enunciado e compará-las com a forma correta de negação:

Comparando as proposições e suas respectivas negações, percebemos que na alternativa b) a negação está incorreta.

Análise da alternativa b)

Proposição: Vou comer uma salada e um filé de frango.
Simbolicamente: \(p \wedge q\)
Negação: Não vou comer uma salada e nem um filé de frango.
Que pode ser reescrita de forma equivalente como:
Não vou comer uma salada e não vou comer um filé de frango.
Simbolicamente: \(\neg p \wedge \neg q\)

Ela está incorreta, pois negou uma conjunção sem alterar o conectivo, ou seja, não foi observada a lei de De Morgan:

A negação de conjunção do tipo (P e Q) é equivalente à disjunção (não P ou não Q).

Simbolicamente: \(\neg (p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q\)

Portanto, a negação correta seria:

Não vou comer uma salada ou não vou comer um filé de frango.

✅ Resposta de Gabarito: b) Proposição: Vou comer uma salada e um filé de frango
Negação: Não vou comer uma salada e nem um filé de frango

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Em um levantamento feito, ao consultar os 158 funcionários de uma empresa, constatou-se que um total de 38 deles possui conta no banco Alfa, um total de 57 possui conta no banco Beta e um total de 14 possui conta nesses dois bancos.
Quantos funcionários dessa empresa não possuem conta no banco Alfa nem no Beta?
(A) 49
(B) 56
(C) 63
(D) 77
(E) 81

RESOLUÇÃO

Vamos utilizar um Diagrama de Venn para descobrir quantos funcionários dessa empresa não possuem conta no banco Alfa nem no Beta.

O primeiro valor a ser preenchido é a intersecção dos bancos Alfa e Beta com 14 elementos.

Agora, preenchemos as regiões com os funcionários que possuem conta apenas no banco Alfa e apenas no Beta, para isso, descontamos do total de cada banco os elementos da intersecção:

Apenas Alfa: 38 – 14 = 24
Apenas Beta: 57 – 14 = 43

Somando os elementos do diagrama temos o total de funcionários com conta no banco Alfa ou no Beta:

24 + 14 + 43 = 81.

Para obtermos o número de funcionários que não são clientes do banco Alfa nem Beta, do total dos 158 funcionários subtraímos os 81 que já possuem conta num dos dois bancos.

Funcionários que não possuem contas nem em Alfa nem em Beta: 158 – 81 = 77

✅ Resposta correta: (D) 77

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Em 2025, um certo campeonato de futebol contará com um total de T times, sendo um deles o campeão do ano anterior. Suponha que exista um esquema de apostas em que são escolhidos apenas dois desses T times, ordenadamente: o campeão e o vice-campeão. Por exemplo, a aposta “time W para campeão e time Y para vice-campeão” é diferente da aposta “time Y para campeão e time W para vice-campeão”.
Nessas condições, o número de apostas diferentes, tais que o time campeão do ano anterior não figure, é dado por
(A) T² – T
(B) T² – 1
(C) (T² – T)/2
(D) T² – 3T + 2
(E) (T² – 3T + 2)/2

RESOLUÇÃO

Nessa situação pode ser utilizada o princípio fundamental da contagem.

Temos duas posições a de campeão e a de vice-campeão, considerando que o campeão do ano anterior não figure, a quantidade T de times é reduzida em uma unidade, isso é, temos \((T – 1)\) possibilidades para ocupar a posição de campeão, a posição de vice-campeão será uma unidade a menos do que a de possibilidades para campeão, ou seja, \((T – 2)\) possibilidades.

Agora, aplicando o princípio fundamental da contagem, temos o produto de dois binômios:

\((T-1) \cdot (T – 2) = T^2 – 2T -T + 2 = \boxed{T^2 – 3T + 2} \)

✅ Resposta correta: (D) T² – 3T + 2

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Uma progressão geométrica é tal que o seu segundo termo \(a_2\) é igual a 4.
Considerando-se que \(a_1\) e \(a_3\) são, respectivamente, o primeiro e o terceiro termos de tal progressão, então o produto \(a_1 \cdot a_3\) é igual a
(A) 2
(B) 4
(C) 8
(D) 16
(E) 64

RESOLUÇÃO

Como se trata de uma progressão geométrica, podemos escrever os termos \(a_1\) e \(a_3 \) em função de \(a_2\).

Para isso, vamos considerar a razão dessa progressão geométrica como sendo \(q \neq 0\).

Isso nos dá as seguintes relações:

\(a_1 = \dfrac{a_2}{q}\) e \(a_3 = a_2 \cdot q\)

Podemos agora calcular o produto:

\(a_1 \cdot a_3 = \dfrac{a_2}{q} \cdot a_2 \cdot q = (a_2)^2\)

Lembrando a informação do enunciado \(a_2 = 4\), temos:

\(a_1 \cdot a_3 = 4^2 = \fbox{16}\)

Para melhor visualização desse resultado, vamos agora mostrar que se utilizarmos uma razão escolhida o resultado se confirma.

Considere 2 como razão, isso nos dá:

\(a_1 \cdot 2 = a_2 = 4 \Rightarrow a_1 = 2\)
\(a_3 = a_2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 \Rightarrow a_3 = 8\)

Consequentemente:

\(a_1 \cdot a_3= 2 \cdot 8 = \fbox{16}\)

✅ Resposta correta: (D) 16

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Uma sequência numérica é tal que seus termos \(a_1= a_2 = 1\) e \(a_{n+2} = a_{n+1} -a_n \), para todo \(n \geq 1\).
O termo \(a_{35}\) dessa sequência é igual a
(A) -35
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 35

RESOLUÇÃO

Temos uma sequência recursiva onde cada termo, a partir do terceiro, é a diferença entre o termo anterior e o anterior do anterior.

Em geral, nesse tipo de questão, não precisamos construir a sequência completa e sim perceber se algum padrão irá se formar a partir dos primeiros termos.

\(a_1 = 1\)
\(a_2 = 1\)
\(a_3 = a_2 – a_1 = 1 – 1 = 0\)
\(a_4 = a_3 – a_2 = 0 – 1 = -1\)
\(a_5 = a_4 – a_3 = -1-0 = -1\)
\(a_6 = a_5 – a_4 = -1-(-1) = -1+1=0\)
\(a_7 = a_6 – a_5 = 0-(-1) = 0+1=1\)
\(a_8 = a_7 – a_6 = 1-0 =1\)

Note que os termos \(a_7 = a_8 = 1\) repetem a situação inicial, onde tínhamos \(a_1 = a_2 = 1\). Ou seja, a sequência começa a se repetir em um ciclo de tamanho 6.

\((a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6) = (1,1,0,-1,-1,0)\)
\((a_7,a_8,a_9,a_{10},a_{11},a_{12}) = (1,1,0,-1,-1,0)\)

Quando temos uma situação desse tipo, podemos encontrar um termo qualquer pela observação do resto da divisão inteira da posição do termo pelo tamanho do ciclo (6).

\(\text{Resto } 1 \to a_1\)
\(\text{Resto } 2 \to a_2\)
\(\text{Resto } 3 \to a_3\)
\(\text{Resto } 4 \to a_4\)
\(\text{Resto } 5 \to a_5\)
\(\text{Resto } 0 \to a_6\)

Para obtermos o termo \(a_{35}\) dividimos 35 por 6.

Como podemos observar \(35 \div 6 =5 \text{ (quociente)}\) com resto \(\fbox{5}\) , dessa forma, temos \(a_{35} = a_5 = \fbox{-1}\)

✅ Resposta correta: (B) -1

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Sejam x, y e z números reais que satisfazem ao sistema linear dado a seguir:
\(\begin{cases} 2x + 3y – z = 4\\ -x-z = 1 \end{cases}\)
O valor de \(x + y\) é igual a
(A) -3
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 3

RESOLUÇÃO

Temos um sistema de duas equações e três incógnitas, observe que o enunciado pede o valor de \(x +y\) e com uma observação atenta, poderemos obter esse resultado conforme irei mostrar a seguir:

Partindo do sistema dado:

\(\begin{cases} 2x + 3y – z = 4\\ -x-z = 1 \end{cases}\)

Notamos que em ambas equações temos \(-z \). Multiplicando a segunda equação por -1 e utilizando o método da adição eliminaremos a variável \(z\).

\(\begin{cases} 2x + 3y – z = 4\\ x+z = -1 \end{cases}\)

Somando as duas equações, teremos:

\(3x + 3y = 3\)

O enunciado pede \(x + y\), dividindo todos os termos dessa equação por 3, vamos obter exatamente o que foi pedido:

\(x + y = \fbox{1}\)

✅ Resposta correta: (D) 1

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Se você não canta, então eu choro. Se você canta, eu não danço. Ora, eu danço.
Logo,
(A) você canta e eu choro.
(B) você não canta e eu choro.
(C) você canta e eu não choro.
(D) você não canta e eu não choro.
(E) se eu choro, então você não canta.

RESOLUÇÃO

Vamos revisar duas regras de inferência lógica

Modus ponens:

\((p \to q) \wedge p \Rightarrow q\)
Em uma proposição condicional (Se p, então q), se o antecedente (p) é verdadeiro, o consequente (q) é verdadeiro.
Dica do professor LG: Na condicional, a Verdade anda para frente.

Modus tollens

\((p \to q) \wedge \neg q \Rightarrow \neg p\)
Em uma proposição condicional (Se p, então q), se o consequente (q) é falso, o antecedente (p) é falso.
Dica do professor LG: Na condicional, a Falsidade anda para trás.

Para facilitar a resolução, vamos associar letras a cada uma das proposições simples do enunciado:

• \(S\): Você canta.
• \(C\): Eu choro.
• \(D\): Eu danço.

As proposições do enunciado serão:

• \(\neg S \to C\): Se você não canta, então eu choro.
• \(S \to \neg D\): Se você canta, eu não danço.
• \(D\): Eu danço.

O nosso ponto de partida é a afirmação direta “Ora, eu danço”. \(D = (V)\).

Analisando a 2ª proposição:
Se você canta, eu não danço.
\((S \to \neg D)\)
\(\neg D = (F)\)
———————————–
\(S = (F)\)
Pela regra modus tollens, chegamos que “você canta.” é falso.

Analisando a 1ª proposição:
Se você não canta, então eu choro.
\(\neg S \to C\)
\(\neg S = (V)\)
——————————–
\(C = (V)\)
Pela regra modus ponens, chegamos que “eu choro.” é verdade.

Conclusões

• Você canta (F)
• Você não canta (V)
• Eu choro (V)
• Eu não choro (F)
• Eu danço (V)
• Eu não danço (F)

Analisando as alternativas

Questão anulada. Duas alternativas verdadeiras (B) e (E).

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Analise as proposições conjuntas abaixo.
I. Zorro não é um cachorro.
II. Se Tica é uma gata então Diva não é uma calopsita.
III. Tica não é uma gata e Dori é uma tartaruga.
IV. Ou Zorro é um cachorro ou Diva é uma calopsita.
Considerando que todas as proposições conjuntas são verdadeiras, podemos concluir que:
a) Dori é uma tartaruga e Tica é uma gata
b) nem Zorro é um cachorro nem Diva é uma calopsita
c) Diva é uma calopsita e Dori é uma tartaruga
d) Tica é uma gata ou Diva não é uma calopsita

RESOLUÇÃO

Dentre as 4 proposições dadas:

I. Zorro não é um cachorro.
II. Se Tica é uma gata então Diva não é uma calopsita.
III. Tica não é uma gata e Dori é uma tartaruga.
IV. Ou Zorro é um cachorro ou Diva é uma calopsita.

Nosso ponto de partida será proposição

I. Zorro não é um cachorro. (V)

Pelo próprio enunciado essa proposição é verdade, a partir desta analisaremos as outras:

Parte da proposição IV refere-se à Zorro.

IV. Ou Zorro é um cachorro ou Diva é uma calopsita.

Trata-se de uma disjunção exclusiva, ela somente será verdadeira se exatamente uma das proposições for verdadeira.

Sabemos que “Zorro é um cachorro” é falso, daí, “Diva é uma calopsita” é verdade.

Parte da proposição II refere-se à Diva.

II. Se Tica é uma gata então Diva não é uma calopsita.

Uma condicional com o consequente “Diva não é uma calopsita” falso, implica que o antecedente “Tica é uma gata” é falso.

Analisando a proposição III.

III. Tica não é uma gata e Dori é uma tartaruga.

Essa conjunção, que é verdadeira, terá ambas proposições componentes verdadeiras. Segue que “Tica não é uma gata” é verdade e “Dori é uma tartaruga” é verdade.

Temos os seguintes valores lógicos das proposições simples:

• Zorro é um cachorro (F)
• Zorro não é um cachorro (V)
• Tica é uma gata (F)
• Tica não é uma gata (V)
• Diva é uma calopsita (V)
• Diva não é uma calopsita (F)
• Dori é uma tartaruga (V)
• Dori não é uma tartaruga (F)

Análise das alternativas

• Dori é uma tartaruga e Tica é uma gata (V e F = F)
• nem Zorro é um cachorro nem Diva é uma calopsita (V e F = F)
• Diva é uma calopsita e Dori é uma tartaruga (V e V = V)
• Tica é uma gata ou Diva não é uma calopsita (F ou F = F)

Alternativa c) Diva é uma calopsita e Dori é uma tartaruga

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O salário bruto de Reginaldo sofre os seguintes descontos:
5% referente a impostos.
8% referente a previdência.
2% referente a vale transporte e vale alimentação.
Se o salário bruto de Reginaldo é de R$ 5.000,00. Assinale a alternativa que apresenta quanto ele receberá após os descontos.
a) R$ 4.500,00
b) R$ 4.282,60
c) R$ 4.354,20
d) R$ 4.250,00

RESOLUÇÃO

Somando os descontos em porcentagem, temos:

5% + 8% + 2% = 15%

Esse percentual de desconto acumulado deve ser calculado sobre o salário bruto de Reginaldo.

\(\dfrac{15}{100} \times 5.000 = \dfrac{75.000}{100} = 750\)

Subtraindo esse desconto do salário de Reginaldo:

\(5.000 – 750 = \fbox{4.250}\)

A subtração poderia ter sido feita diretamente na porcentagem.

100% – 15% = 85%

E calculando 85% do salário de Reginaldo, temos o salário após os descontos:

\(\dfrac{85}{100} \times 5.000 = \dfrac{425.000}{100} = \fbox{4.250}\)

✅ Resposta correta: d) R$ 4.250,00

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