Matemática para Vestibulares

Certo dia, três serviços foram realizados em uma oficina. A execução do serviço A levou 4.500 segundos, a do serviço B levou 42 minutos, e a do serviço C levou 2 horas e 13 minutos. Somando as durações desses 3 serviços, obtém-se
(A) 4 horas e 10 minutos.
(B) 3 horas e 10 minutos.
(C) 3 horas e 40 minutos.
(D) 2 horas e 50 minutos.
(E) 2 horas e 30 minutos.

RESOLUÇÃO

Lembre-se:
1 minuto = 60 segundos
1 hora =60 minutos

A questão pede a soma de três períodos de tempo, vamos padronizar esses períodos em minutos e, em seguida, efetuar a soma.

Para converter 4.500 segundos em minutos, dividimos esse valor por 60.

\(4500 \div 60 = \fbox{75}\)

O serviço A levou 75 minutos.

O serviço B levou 42 minutos.

Para converter 2 horas e 13 minutos em minutos, vamos obter a quantidade de minutos em 2 horas e somar com 13.

\(2 \times 60 + 13 = 120 + 13 = 133\)

O serviço C levou 133 minutos.

Com todos os períodos padronizados em minutos, vamos efetuar a soma:

\(75 + 42 + 133 = 250\)

O próximo passo é converter 250 minutos em horas e minutos. Essa conversão é feita através da divisão inteira de 250 por 60, onde o quociente será o tempo em horas e o resto o tempo em minutos.

\(250 \div 60 = \fbox{4} \text{ com resto } \fbox{10}\)

A soma da duração dos 3 serviços é de 4 horas e 10 minutos.

✅ Resposta correta: (A) 4 horas e 10 minutos.

📌 RESUMO:
👉 Serviço A: 4.500 s ÷ 60 = 75 minutos
👉 Serviço B: 42 minutos
👉 Serviço C: 2h13min = (2 × 60) + 13 = 133 minutos
👉 Soma total: 75 + 42 + 133 = 250 minutos
▶ 250 ÷ 60 = 4 horas e 10 minutos
✅ Alternativa correta: (A)

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Agnaldo é o responsável pelo departamento logístico da prefeitura de certa cidade. Ele fará a encomenda de algumas caixas de papelão, todas de mesmo tamanho e em forma cúbica, para transporte das mercadorias da repartição. Para transportar essas caixas, ele usará uma caçamba cujo interior tem a forma de um paralelepípedo retângulo, com largura, altura e comprimento medindo, respectivamente, 150 cm, 180 cm e 540 cm. Se Agnaldo escolherá o tamanho das caixas de modo que sejam as maiores possíveis, mas que ao acomodá-las na caçamba, não fique sobrando nenhum espaço, é correto afirmar que cada caixa terá volume igual a
(A) 30.000 cm³.
(B) 3.000 cm³.
(C) 64.000 cm³.
(D) 27.000 cm³.
(E) 8.000 cm³.

Para que as caixas caibam no interior da caçamba, elas precisam encaixar exatamente nas medidas 150 cm, 180 cm e 540 cm. Isso significa que a medida da aresta das caixas cúbicas deve dividir, simultaneamente, as medidas do interior da caçamba. Como o tamanho das caixas deve ser o maior possível, devemos calcular o máximo divisor comum de 150, 180 e 540.

Vamos encontrar o MDC(150,180,540) por fatoração simultânea:

			Fatores
150	180	540	2
75	90	270	3
25	30	90	5
5	6	18
Máximo	Divisor	Comum	2 x 3 x 5 = 30

Sabendo que o MDC(150,180,540) = 30, vamos obter o volume das caixas cúbicas de aresta 30 cm.

Lembre-se: O volume de um cubo de aresta a é obtido pela fórmula V = a³

\(V = 30^3 = \fbox {27\, 000} \)

Portanto, o volume de cada caixa será 27.000cm³

✅ Resposta correta: (D) 27.000 cm³.

📌 RESUMO:
👉 Dimensões da caçamba: 150 cm × 180 cm × 540 cm
👉 Maior aresta cúbica que divide todas essas dimensões: MDC(150, 180, 540) = 30 cm
👉 Volume de cada caixa: 30³ = 27.000 cm³
✅ Alternativa correta: (D)

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Betina está brincando com letras e números, utilizando giz de cera, em uma folha de cartolina. Em um círculo, escreveu as vogais A, E, I, O, U. No outro, colocou os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Com base nessa situação hipotética, assinale a opção que apresenta de quantas maneiras diferentes Betina pode ligar as cinco vogais, cada uma a um único número sem repeti‐los.
(A) \(5!\)
(B) \(10!\)
(C) \(\dfrac{10!}{5!}\)
(D) \(5^{10}\)
(E) \(10^5\)

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A fórmula de arranjos simples de n elementos tomados p a p é dada por: \(A_{n,p} = \dfrac{n!}{(n-p)!}\)

Para entendermos a questão, vamos imaginar a seguinte situação:

Para cada letra, começando por A, Betina tem que escolher um único número de 0 a 9. A quantidade de escolhas é representada na tabela:

Letra	Quantidade de Escolhas
A	10
E	9
I	8
O	7
U	6

Como a ordem das ligações importa¹ e cada letra estará associada a um único número, sem repetição, trata-se de um arranjo simples de 10 elementos tomados 5 a 5:

\(A_{10,5} = \dfrac{10!}{(10-5)!} = \dfrac{10!}{5!} \)

✅ Resposta correta: (C) \(\dfrac{10!}{5!}\)

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1. A ordem das ligações importa pois, por exemplo, ligar A ao 1 e E ao 2 é diferente de ligar A ao 2 e E ao 1. ↩︎

Em 2017, o CISBAF, buscando ofertar serviços de atenção especializada, criou o programa “Marque Fácil”, realizando em todo o município cerca de 292.000 atendimentos até o presente momento. Sabe-se que 189.800 atendimentos foram realizados para o público feminino e o restante para o público masculino. A porcentagem de atendimentos realizados a mulheres e homens correspondem, respectivamente, a:
A) 65% e 35%.
B) 62% e 38%.
C) 59% e 41%.
D) 57% e 43%.

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Dica: Uma maneira prática de determinar quanto uma parte representa de um todo, em porcentagem.
Multiplique a parte por 100 e divida o resultado pelo todo, o valor obtido é a porcentagem procurada.

Para obter a porcentagem de mulheres, precisamos saber quanto 189.800 representa de 292.000 em porcentagem.

\(\dfrac{189\,800 \times 100}{292\,000} = \dfrac{18\,980\,000}{292\,000}\)

Vamos calcular esse quociente:

\(\dfrac{18\,980\,000}{292\,000} = \fbox{65}\)

A porcentagem de mulheres é 65%.

Para obter a porcentagem de homens, subtraímos 65% de 100%.

\(100 – 65 = 35\)

A porcentagem de homens é 35%.

✅ Resposta correta: A) 65% e 35%.

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Certo número N de fiscais de um estado foi designado para realizar uma tarefa especial. Esse grupo de N fiscais poderá ser subdividido em grupos com 12, ou com 20, ou com 25 fiscais em cada um; e qualquer que seja a opção feita, nenhum fiscal ficará de fora dos grupos. Sabendo que N é um número menor que 400, é correto afirmar que a soma dos algarismos de N é igual a
(A) 4.
(B) 5.
(C) 3.
(D) 6.
(E) 7.

---

O número N é divisível por 12, por 20 e por 25. Precisamos, portanto, encontrar um número que seja múltiplo comum desses três valores.

Vamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) desses três números.

O método mais prático para cálculo de MMC é a fatoração simultânea.

			FATORES PRIMOS
12	20	25	2
6	10	25	2
3	5	25	3
1	5	25	5
	1	5	5
		1

O mínimo múltiplo comum (MMC) será o produto dos fatores primos obtidos:

\(MMC(12,20,25) = 2^2 \times 3 \times 5^2= 300\)

Como N é um múltiplo, não nulo, de 300 e menor do que 400, a única possibilidade é N = 300.

Agora, podemos obter a a soma dos algarismos de N.

\(300 \Rightarrow 3 + 0 + 0 = \fbox{3}\)

Alternativa (C) 3.

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Uma escola organizará uma caça aos ovos de Páscoa e precisa selecionar 5 crianças para participar. Como há 12 crianças interessadas, a escolha será feita de forma totalmente aleatória.
Com base nessa situação hipotética, assinale a opção que apresenta de quantas maneiras diferentes esse grupo pode ser formado.

(A) 792
(B) 870
(C) 924
(D) 990
(E) 1.056

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Nesse problema, devemos escolher 5 crianças entre as 12, não importando a ordem em que essas escolhas são feitas.

Usamos, nesse caso, o cálculo da combinação de 12 elementos tomados 5 a 5.

\(C_{12,5} = \dfrac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \dfrac{12!}{5! \cdot 7!}\)

Nesta resolução, iremos passo-a-passo, indicar as simplificações feitas.

Vamos desenvolver \(12!\) até \(7!\) para simplificar com \(7!\) do denominador.

\(\dfrac{12!}{5! \cdot 7!} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!}\)

Observe que \(4 \cdot 3 = 12\), o que permite eliminar o 12 do numerador com o \(4 \cdot 3\) do denominador.

\(\dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 }{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{11\cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 2 \cdot 1}\)

Também é possível é cancelar o 10 do numerador com o \(5\cdot 2 \cdot 1 = 10\) do denominador.

\(\dfrac{11\cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 2 \cdot 1} = 11\cdot 9\cdot8 = \fbox{792}\)

Assim, a quantidade de maneiras diferentes de formar o grupo é 792.

Alternativa (A) 792

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Sejam \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+_* \) e \(g: \mathbb{R}^+_* \to \mathbb{R}\) as funções algebricamente definidas por \(f(x)=3^{2x}\) e \(g(x)=\log_9(x)\).
Para todo \(x > 0\), tem-se que \(f(g(x)) \)é igual a
(A) \(x\)
(B) \(x^2\)
(C) \(\dfrac{x^2}{2}\)
(D) \(2x^2\)
(E) \(\sqrt{x}\)

---

Esta questão envolve função composta e uso de propriedades de potências e logaritmos.

Lembre-se: \(\left(a^m \right)^n = a^{m \cdot n}\)
\(a^{\log_a b} = b\), com \(b>0, a > 0 \text{ e } a \neq 1\))

Queremos calcular \(f(g(x))\), dados \(\begin{cases} f(x) = 3^{2x} \\ g(x) = \log_9(x) \end{cases}\)

Desenvolvendo:

\(f(g(x)) = 3^{2 \cdot g(x)}\)

Vamos usar a propriedade da potenciação: \(\left(a^m \right)^n = a^{m \cdot n}\)

\(3^{2 \cdot g(x)} = \left( 3^2 \right)^{g(x)} = 9^{g(x)}\)

Sabendo que \(g(x) = \log_9(x)\), temos:

\(9^{g(x)} = 9^{\log_9(x)}\)

\(f(g(x)) = \left(3^2\right)^{\cdot\log_9 (x)}\)

\(f(g(x)) = 9^{\cdot\log_9 (x)}\)

Pela propriedade de logaritmos: \(a^{\log_a b} = b\), com \(b>0, a > 0 \text{ e } a \neq 1\))

\(9^{\cdot\log_9 (x)} = x\)

Alternativa (A) \(x\)

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Para a realização de determinada brincadeira, um professor deseja organizar quatro alunos (Adriano, Bernardo, Celso e Daniel) em uma fila de seis cadeiras, conforme o esquema a seguir:

No entanto, ele quer garantir que duas cadeiras fiquem vazias e, além disso, que os alunos se sentem em ordem alfabética da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda. Com base nas informações fornecidas, de quantas maneiras diferentes o professor pode organizar os alunos nas cadeiras respeitando essas condições?
A) 15.
B) 30.
C) 60.
D) 90.

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Vamos aplicar a fórmula de combinações na resolução deste exercício

\( C_{n,k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)

Para resolver esta questão, devemos escolher 4 lugares entre as 6 cadeiras e, depois, colocar os 4 alunos em ordem alfabética, tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda.

Como a ordem da escolha dos 4 lugares não importa, iremos calcular a quantidade de combinações de 6 elementos tomados 4 a 4.

\( C_{6,4} = \dfrac{6!}{4!(6-4)!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = \dfrac{30}{2} = 15\)

Temos 15 maneiras distintas de escolher 4 lugares em 6 cadeiras, note que esse valor corresponde à alternativa (A), mas representa um distrator, pois ainda não consideramos todos os casos possíveis.

Agora vamos considerar os dois casos de organização (esquerda para a direita) e (direita para a esquerda).

\(2 \times 15 = \fbox{30}\)

Alternativa B) 30.

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Para distribuir recursos de verbas para os 11 municípios do CISBAF, foi realizado o seguinte cálculo: considerando o valor inicial de R$ 2.000.000,00, subtraia R$ 253.750,00 de impostos e multiplique por 4 a quantia já sem impostos. Após o resultado da multiplicação, some mais R$ 396.000,00 de bonificação para a saúde e, após, divida por 11 para obter o valor que cada município irá receber. Considerando a situação hipotética, é correto afirmar que, após os cálculos, cada município receberá uma quantia de:
A) R$ 665.000,00.
B) R$ 671.000,00.
C) R$ 678.000,00.
D) R$ 683.000,00.

---

O enunciado da questão nos dá o passo-a-passo das operações, é só segui-los para obter o valor correto.

Passo I: Subtração dos Impostos

De R$ 2.000.000,00 subtraímos R$ 253.750,00

\(2000000-253750 = \fbox{1746250}\)

Passo II: Multiplicação por Quatro

Multiplicamos por 4 a quantia sem impostos.

\(1746250 \times 4 = \fbox{6985000}\)

Passo III: Bonificação para a Saúde

Somamos R$ 396.000,00 ao valor obtido.

\(6985000 + 396000 = \fbox{7381000}\)

Passo IV: Divisão entre os 11 Municípios

Dividimos por 11 para obter o valor por município.

\(7381000 \div 11 = \fbox{671000}\)

Efetuando os cálculos indicados, concluímos que cada município receberá R$ 671.000,00

Alternativa B) R$ 671.000,00.

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Em uma reunião do CISBAF, ficou acordado uma compra de macas hospitalares e cadeira de rodas para 2 hospitais de um certo município. Para o primeiro hospital, foram adquiridas 22 macas e 11 cadeiras de rodas total de R$ 121.000,00. Para o segundo hospital, foram adquiridas 12 macas e 20 cadeiras de rodas, totalizando um valor de R$ 82.800,00. Considerando os dados hipotéticos citados, é correto afirmar que o valor de uma maca hospitalar e uma cadeira de rodas correspondem, respectivamente, a:
A) R$ 4.500,00 e R$ 2.000,00.
B) R$ 4.700,00 e R$ 1.600,00.
C) R$ 4.900,00 e R$ 1.200,00.
D) R$ 5.000,00 e R$ 1.000,00.

---

A solução desta questão será obtida a partir da modelagem de um sistema de equações do primeiro grau.

Usando m para maca e c para cadeiras, temos:

\(\begin{cases} 22m + 11c = 121000 \\ 12m + 20c = 82800 \end{cases}\)

Podemos dividir a primeira equação por 11 e a segunda por 4, obtendo:

\(\begin{cases} 2m + c = 11000 \\ 3m + 5c = 20700 \end{cases}\)

Método da Substituição

A primeira equação permite facilmente isolar a variável c.

\(2m+c=11000 \Rightarrow c = 11000 – 2m\)

Substituindo na segunda equação:

\(3m + 5 \cdot (11000 – 2m) = 20700\)

Aplicando a propriedade distributiva:

\(3m + 55000 – 10m = 20700\)

\(-7m = 20700 – 55000\)

\(-7m = -34300\)

Multiplicando ambos os lados por -1:

\(7m = 34300\)

Dividindo ambos os lados por 7:

\(m = \dfrac{34300}{7} \Rightarrow \fbox{m = 4900}\)

Como apenas uma alternativa traz R$ 4900,00 como valor para a maca, já é possível marcar a alternativa correta.

Por uma questão didática, vamos obter o valor da cadeira.

\(c = 11000 – 2m \Rightarrow c= 11000 – 2 \cdot 4900\)

\(c = 11000 – 9800 \Rightarrow \fbox{c=1200}\)

O preço da cadeira de rodas é R$ 1200,00.

Portanto, marcamos:

✅ Resposta correta: C) R$ 4.900,00 e R$ 1.200,00.

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O volume de suco contido em uma garrafa cheia corresponde exatamente ao volume de seis copos idênticos cheios. Após um lanche coletivo em uma escola, sobraram 15 garrafas de suco vazias, 3 garrafas contendo exatamente o volume para encher 2 copos em cada uma, e 2 garrafas contendo exatamente o volume para encher um copo em cada uma. Em relação ao volume das garrafas de suco que foram abertas, a proporção de suco consumida foi de
(A) 8/9.
(B) 9/11.
(C) 11/12.
(D) 7/8.
(E) 14/15.

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Sabemos que uma garrafa corresponde a 6 copos de suco. Vamos utilizar essa informação na questão, com o intuito de facilitar os cálculos. Para isso, converteremos todas as informações dadas em medidas equivalentes em copos.

Vamos descobrir quantas garrafas foram abertas, usando o seguinte trecho do enunciado:

Após um lanche coletivo em uma escola, sobraram 15 garrafas de suco vazias, 3 garrafas contendo exatamente o volume para encher 2 copos em cada uma, e 2 garrafas contendo exatamente o volume para encher um copo em cada uma.

Isso nos dá: \(15 + 3 + 2 = 20\) garrafas abertas.

20 garrafas equivalem a \(20 \times 6 = 120\) copos.

Agora, vamos descobrir a quantidade de suco consumida, em copos, de acordo com os dados da questão.

Sobraram 15 garrafas de suco vazias:
O que corresponde a \(15 \times 6 = 90\) copos consumidos.

3 garrafas contendo exatamente o volume para encher 2 copos em cada uma:
Se sobraram 2 copos em uma garrafa com capacidade para 6 copos, é porque foram consumidos \(6 – 2 = 4\) copos dessas garrafas, logo temos mais \(3 \times 4 = 12\) copos consumidos.

2 garrafas contendo exatamente o volume para encher um copo em cada uma:
Nesse caso, considerando a capacidade da garrafa, foram consumidos \(6 – 1 = 5\) copos dessas garrafas, logo temos mais \(2 \times 5 = 10\) copos consumidos.

Somando a quantidade de copos consumidos:

Total consumido:
\(90 + 12 + 10 = 112\)

Com essas informações, podemos calcular a proporção de suco consumida em relação às garrafas abertas:

Proporção consumida:
\(\dfrac{112}{120} = \dfrac{14}{15} \)

Alternativa (E) 14/15.

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