Matemática para Vestibulares

Uma refeição é composta por uma unidade de proteína, uma unidade de carboidrato, uma unidade de salada e uma unidade de sobremesa. As proteínas disponíveis são bife de alcatra, filé de frango grelhado ou filé de tilápia grelhado. Os carboidratos, arroz ou macarrão. As saladas podem ser de folhas ou de tomate. E para a sobremesa tem banana, laranja ou gelatina. Assinale a alternativa que apresenta o número de refeições distintas que podem ser montadas.
a) 4
b) 12
c) 18
d) 36

---

Para obter a quantidade de refeições distintas, inicialmente, contamos a quantidade de opções de cada componente.

• Proteína: 3 opções
• Carboidrato: 2 opções
• Salada: 2 opções
• Sobremesa: 3 opções

Utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, o produto das quantidades de cada item resulta no total de refeições distintas.

\(3 \times 2 \times 2 \times 3 = \fbox{36} \)

Alternativa d) 36

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Duas caixas, A e B, contêm bolas que se distinguem apenas pela cor. Umas são brancas, outras amarelas e as demais, vermelhas. As quantidades de bolas de cada cor dentro de cada caixa estão no quadro abaixo.

Retirando ao acaso uma bola de cada caixa, a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor é igual a
(A) 22%.
(B) 25%.
(C) 28%.
(D) 30%.
(E) 34%.

---

Como queremos que as duas bolas sejam da mesma cor, isso significa que os casos que nos favorecem são:

• Branca de A e Branca de B
• Amarela de A e Amarela de B
• Vermelha de A e Vermelha de B

Uma dica importante no estudo de probabilidades é lembrar que quando trabalhamos com a palavra E multiplicamos as probabilidades e quando trabalhamos com a palavra OU somamos as probabilidades.

E onde essa dica nos ajuda?

Olhando os casos que nos favorecem, temos

(Branca de A E Branca de B) OU (Amarela de A E Amarela de B) OU (Vermelha de A E Vermelha de B)

Sabemos que o total de bolas da caixa A é 10 e o total de bolas da caixa B é 20, vamos calcular a probabilidade de cada cor em cada caixa em uma tabela, lembrando que a probabilidade de um evento é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o total de casos possíveis.

Caixa	Branca	Amarela	Vermelha
A	\(P(B_A) = \dfrac{3}{10}\)	\(P(A_A) = \dfrac{2}{10}\)	\(P(V_A) = \dfrac{5}{10}\)
B	\(P(B_B) = \dfrac{7}{20}\)	\(P(A_B) = \dfrac{10}{20}\)	\(P(V_B) = \dfrac{3}{20}\)

Com base na tabela de probabilidades acima, podemos calcular a probabilidade pedida no enunciado da questão:

\(P(\text{Mesma Cor}) = P(B_A)\cdot P(B_B) + P(A_A)\cdot P(A_B) + P(V_A)\cdot P(V_B) = \)

\( \dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{7}{20}+ \dfrac{2}{10}\cdot \dfrac{10}{20}+ \dfrac{5}{10}\cdot \dfrac{3}{20}= \dfrac{21}{200}+ \dfrac{20}{200}+ \dfrac{15}{200} = \)

\(\dfrac{21 + 20 + 15}{200} = \dfrac{56}{200} = \dfrac{28}{100} = \fbox{28\%}\)

Portanto, a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor é 28%.

Alternativa (C) 28%.

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Novo tratamento para emagrecimento vem sendo testado. Até o presente, há evidências de que o indivíduo submetido ao tratamento emagrece 20% do seu peso inicial, porém, depois de três meses do final do tratamento, recupera 10% do peso obtido com o tratamento. Dessa forma, um indivíduo que iniciou o tratamento com 103 kg, estará, três meses após o final do tratamento, na faixa de peso entre:
a) 84 kg e 85 kg
b) 106 kg e 107 kg
c) 94 kg e 95 kg
d) 90 kg e 91 kg

---

Vamos resolver esta questão de três maneiras diferentes:

Primeira maneira.

Calculamos 20% do peso inicial 103 kg.

\(\dfrac{20}{100} \times 103 = \dfrac{2060}{100} = 20,6\)

Subtraímos esses 20,6 kg do peso inicial 103 kg.

\(103 – 20,6 = 82,4\)

Agora calculamos 10% de 82,4 kg

\(\dfrac{10}{100} \times 82,4 = \dfrac{824}{100} = 8,24\)

Somamos esse valor aos 82,4 kg.

\(82,4 + 8,24 = \fbox{90,64}\)

O peso final é 90,64 kg.

Segunda maneira.

Usamos o fator em porcentagem que já leva ao peso final em cada etapa.

Na primeira etapa, o indivíduo emagrece 20% e fica com 100% – 20% = 80% do peso original

\(\dfrac{80}{100} \times 103 = \dfrac{8240 }{100} = 82,4\)

Na segunda etapa, o indivíduo recupera 10% e fica com 100% + 10% = 110% do peso da etapa anterior.

\(\dfrac{110}{100} \times 82,4 = \dfrac{9064}{100} = \fbox{90,64}\)

Confirmando, o peso final do indivíduo é 90,64 kg

Terceira maneira.

Calculando porcentagem sobre porcentagem, usando os fatores 80% e 110%.

\(\dfrac{80}{100} \times \dfrac{110}{100} \times 103 = \)

\(\dfrac{8}{10} \times \dfrac{11}{10} \times 103 = \)

\(\dfrac{88}{100} \times 103 = \dfrac{9064}{100} = \fbox{90,64}\)

Finalmente, com o peso final de 90,64 kg, pertencente ao intervalo entre 90 kg e 91 kg, marcamos:

Alternativa d) 90 kg e 91 kg

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Duas equipes, A e B, de fiscais contam, respectivamente, com 2 e 5 fiscais em cada uma. Essas duas equipes foram incumbidas de fiscalizar 91 estabelecimentos no total. Se esse número for dividido entre as duas equi­pes de modo que as quantidades de estabelecimentos a serem fiscalizados por cada uma sejam diretamente pro­porcionais aos números de fiscais em cada uma, então a equipe B receberá, a mais que a equipe A,
(A) 37 estabelecimentos.
(B) 39 estabelecimentos.
(C) 38 estabelecimentos.
(D) 35 estabelecimentos.
(E) 36 estabelecimentos.

---

Resolução por Tabela

Para dividir proporcionalmente o número de estabelecimentos pela quantidade de fiscais de cada equipe, precisamos dividir o número de estabelecimentos pela quantidade total de fiscais, isso nos dará um fator que utilizaremos para determinar a quantidade de estabelecimentos que caberá a cada equipe.

\(\dfrac{91}{2+5} = \dfrac{91}{7} = 13\)

O fator procurado é 13, dessa forma, a quantidade de estabelecimentos para cada equipe é dada na tabela abaixo:

Equipe	Fiscais	Estabelecimentos
A	\(2\)	\(2 \times 13 = 26\)
B	\(5\)	\(5 \times 13 = 65\)

Para responder quantos estabelecimentos a equipe B fiscalizará a mais do que a equipe A, basta calcular a diferença entre os valores obtido na tabela:

\(B – A = 65 – 26 = \fbox{39}\)

A equipe B fiscalizará 39 estabelecimentos mais do que a equipe A.

Resolução Direta

Uma forma de obter a resposta usar diretamente a diferença de fiscais de cada equipe multiplicada pelo número de estabelecimentos dividido pelo total de fiscais, a conta seria a seguinte:

\(\dfrac{91}{(2+5)} \times (5-2) = \dfrac{91}{7} \times 3 = 13 \times 3 = \fbox{39}\)

O que nos leva à mesma conclusão do método anterior:

A equipe B fiscalizará 39 estabelecimentos mais do que a equipe A.

Alternativa (B) 39 estabelecimentos.

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Bárbara, uma turista brasileira, está viajando pelos Estados Unidos e, sempre que precisa converter distâncias de milhas para quilômetros, lembra‐se de uma regra que seu pai ensinou: para converter de milhas para quilômetros, basta multiplicar a distância em milhas por 8 e dividir por 5.
Certo dia, ela viu em um mapa que a distância entre duas cidades era de 120 quilômetros.
Com base nessa situação hipotética, utilizando a regra do pai de Bárbara para fazer a conversão inversa, assinale a opção que apresenta essa distância aproximada em milhas.
(A) 75 milhas
(B) 104 milhas
(C) 133 milhas
(D) 161 milhas
(E) 192 milhas

Lembre-se: A operação inversa da divisão é a multiplicação e a da multiplicação é a divisão.

Usando a regra do enunciado e aplicando operações inversas, encontraremos uma nova regra para transformar quilômetros em milhas.

IDA
Milhas \(\Rightarrow\) Quilômetros
Multiplica por 8 e divide por 5.

VOLTA
Quilômetros \(\Rightarrow\) Milhas
Multiplica por 5 e divide por 8.

Convertendo 120 quilômetros para milhas:

Multiplica por 5	Divide por 8

\(120 \times 5 = 600\)
\(600 \div 8 = \fbox{75}\)

Portanto, 120 quilômetros equivalem a aproximadamente 75 milhas.

Alternativa (A) 75 milhas

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Uma sequência tem como primeiro termo o número 10 e, a partir dele, cada termo é igual ao anterior somado com 7.
O primeiro termo dessa sequência que ultrapassa 1000 é:
(A) 1001.
(B) 1002.
(C) 1003.
(D) 1004.
(E) 1005.

A lei de formação dessa sequência é dada por \(A = 10 + 7n\) e a sequência gerada é: \(10, 17, 24, 31, 38, \ldots \).

Vamos utilizar aritmética modular para resolver essa questão, como 10 dividido por 7 dá resto 3, todos os números dessa sequência também darão resto 3.

Sendo assim, a estratégia será descobrir, dentre as alternativas, qual delas ao se dividir por 7 nos retorna resto 3.

DICA do Professor LG: Quando testamos alternativas, verifique se as respostas são ordenadas e teste a alternativa central primeiro.

Vamos testar, inicialmente a alternativa central 1003.

Nessa divisão, obtemos resto 2, como queremos resto 3 = 2 + 1, basta aumentar uma unidade no dividendo, 1003 + 1 = 1004.

Chegamos ao valor procurado, pois, conforme podemos observar 1004 dividido por 7 resulta em um quociente 143 com resto 3.

✅ Resposta correta: (D) 1004.

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A seguir está apresentada uma sequência numérica, na qual há uma regra que permite calcular o próximo elemento.
3, 11, 24, 42, 65, …?
Após definir a regra que calcula o próximo elemento, assinale a alternativa que corresponde ao 7º elemento da sequência.
a) 93
b) 126
c) 164
d) 207

RESOLUÇÃO

Vamos buscar um padrão nessa sequência:
\(3, \ 11,\ 24, \ 42, \ 65, \ \ldots \)

Um bom ponto de partida em questões de sequências numéricas é observar a diferença entre termos consecutivos.
\(11 – 3 = 8\)
\(24 – 11 = 13\)
\(42 – 24 = 18\)
\(65 – 42 = 23\)

As diferenças entre termos consecutivos geram um padrão, veja:

\(8, \ 13, \ 18, \ 23\) é uma progressão aritmética com primeiro termo 8 e razão 5.

Como o enunciado já nos forneceu até o quinto termo e pede o sétimo, não vale a pena tentar deduzir uma lei de formação, é mais rápido e seguro continuar o padrão.

Os dois próximos termos da P.A. serão:
\(23 + 5 = 28\)
\(28 + 5 = 33\)

Partindo do quinto termo da sequência original obtemos os seguintes:
Sexto termo: \(65 + 28 = 93\)
Sétimo termo: \(93 + 33 = \fbox{126}\)

A sequência, até o sétimo termo ficará assim:
\(3, \ 11,\ 24, \ 42, \ 65, \ \ 93, \ \fbox{126} \)

✅ Resposta correta: b) 126

📌 RESUMO:
👉 Sequência: 3, 11, 24, 42, 65, …
👉 Diferenças entre os termos: 8, 13, 18, 23 → P.A. de razão 5
👉 Próximas diferenças: 28 e 33
▶ Sexto termo: 65 + 28 = 93
▶ Sétimo termo: 93 + 33 = 126
✅ Alternativa correta: (b)

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O rendimento médio de um veículo se refere à distância média que ele é capaz de percorrer por unidade de volu­me de combustível consumido.
Um veículo consumiu 37,8 litros de combustível para per­correr, no total, 434,7 quilômetros. O rendimento médio desse veículo, para o trajeto considerado, é igual a
(A) 11,5 quilômetros por litro de combustível.
(B) 10,2 quilômetros por litro de combustível.
(C) 8,6 quilômetros por litro de combustível.
(D) 12,1 quilômetros por litro de combustível.
(E) 4,6 quilômetros por litro de combustível.

RESOLUÇÃO

Uma dica é observar as respostas, todas elas têm o mesmo formato:
X quilômetros por litro de combustível.

Isso nos dá um parâmetro de como obter o rendimento médio do veículo.

Basta dividir a distância (434,7 km) pelo consumo de combustível (37,8 ℓ).

O rendimento médio é, portanto: \(\dfrac{434,7 \text{km}}{37,8 \ell} =11,5 \text{km} / \ell\).

✅ Resposta correta: (A) 11,5 quilômetros por litro de combustível.

📌 RESUMO:
👉 Distância total percorrida: 434,7 km
👉 Combustível consumido: 37,8 litros
👉 Rendimento médio: 434,7 ÷ 37,8 = 11,5 km/ℓ
✅ Alternativa correta: (A)

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Determinado ciclista está participando de uma competição de resistência em um terreno montanhoso. Para manter seu desempenho e evitar a fadiga, ele precisa fazer uma pausa para hidratação e alimentação a cada 40 minutos. Sabe-se que cada uma dessas pausas dura exatamente 10 minutos. Durante o trajeto em sua bicicleta, ele mantém uma velocidade média de 25 km/h, independentemente das subidas e descidas do percurso. Sabendo que a prova tem um total de 120 km de extensão, quantas paradas ele precisará fazer antes de cruzar a linha de chegada?
A) 5.
B) 6.
C) 7.
D) 8.

RESOLUÇÃO

Se não houvesse as paradas, quanto tempo esse ciclista demoraria?

Vamos dividir a distância (120km) pela velocidade (25km/h)

Temos que: \(\dfrac{120 \text{km}}{25 \text{km/h}}= 4,8 \text{h}\)
Lembrando que 1h = 60min, vamos converter esse tempo de horas para minutos.

Sabemos agora que 4,8h = 288 min.

O ciclista para a cada 40 minutos, se o trajeto dura 288 minutos, o número de paradas será obtido pelo quociente da divisão inteira de 288 por 40.

O ciclista deverá fazer 7 paradas antes de cruzar a linha de chegada.

✅ Resposta correta: C) 7.

📌 RESUMO:
👉 Distância total da prova: 120 km
👉 Velocidade média: 25 km/h → Tempo sem paradas: 120 ÷ 25 = 4,8 h = 288 minutos
👉 O ciclista faz uma pausa a cada 40 minutos → 288 ÷ 40 = 7 paradas
✅ Alternativa correta: (C)

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Após uma reunião entre os entes consorciados, o CISBAF realizou a reforma de um centro de saúde. Sabe-se que 18 funcionários demandaram um total de 25 dias para concluir a reforma. É possível afirmar que, caso essa reforma fosse realizada
por 30 funcionários, quantos dias seriam necessários?
A) 9 dias.
B) 12 dias.
C) 15 dias.
D) 41 dias.

RESOLUÇÃO

Temos duas grandezas: funcionários e dias. Inicialmente precisamos ver se essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

Para isso, precisamos responder à pergunta:

Se a quantidade de funcionários aumenta, a quantidade de dias para se concluir a reforma aumenta ou diminui?

Vamos lá: se eu tenho mais funcionários, precisarei de menos dias para concluir a reforma, ou seja, enquanto uma grandeza aumenta, a outra diminui e, nesse caso, trata-se de Grandezas Inversamente Proporcionais.

No caso de grandezas inversamente proporcionais, devemos multiplicar os valores em linha e igualar os resultados, veja a tabela abaixo:

Funcionários	Dias	Funcionários vezes Dias
\(18\)	\(25\)	\(18 \cdot 25 = 450\)
\(30\)	\(x\)	\(30 \cdot x\)

Temos a equação:

\(30x = 450\)

\(x = \dfrac{450}{30}\)

\(x = \fbox{15}\)

Portanto, com 30 funcionários seriam necessários 15 dias para se concluir a reforma.

✅ Resposta correta: C) 15 dias.

📌 RESUMO:
👉 18 funcionários concluem a obra em 25 dias
👉 Aumentando para 30 funcionários → grandezas inversamente proporcionais
👉 Regra: \(18 \cdot 25 = 30 \cdot x \to x = 450 \div 30 = \text{ 15 dias} \)
✅ Alternativa correta: (C)

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Gael está decidindo o presente de Páscoa para seus filho e visitou uma confeitaria que vende ovos de chocolate nos tamanhos de 200 g, 500 g e 1 kg.
Após analisar os preços, ele descobriu que:

• comprar um ovo de 200 g e um ovo de 500 g custa R$ 95.
• comprar um ovo de 200 g e um ovo de 1 kg custa R$ 150.
• comprar um ovo de 500 g e um ovo de 1 kg custa R$ 185.

Com base nessa situação hipotética, assinale a opção que apresenta o valor da diferença entre o preço do ovo de 1 kg e o preço do ovo de 200 g.
(A) R$ 35
(B) R$ 45
(C) R$ 60
(D) R$ 75
(E) R$ 90

RESOLUÇÃO

Essa questão pode ser resolvida montando-se um sistema de equações e obtendo-se o valor de cada um dos tamanhos.

Vamos utilizar as seguintes letras para modelar o sistema:

• D = 200g
• Q = 500g
• K = 1kg

• comprar um ovo de 200 g e um ovo de 500 g custa R$ 95.
• comprar um ovo de 200 g e um ovo de 1 kg custa R$ 150.
• comprar um ovo de 500 g e um ovo de 1 kg custa R$ 185.

\(\begin{cases} D + Q = 95 \\ D + K = 150 \\ Q + K = 185 \end{cases}\)

Somando as três equações, temos:

\(2D + 2Q +2K = 430\)

Dividindo essa equação por 2

\(D + Q + K = 215\)

Com essa equação, podemos obter o valor de cada um dos tamanhos.

• Subtraindo \(D + Q = 95\) de \(D + Q + K = 215\), temos \(K = 120\)
• Subtraindo \(D + K = 150\) de \(D + Q + K = 215\), temos \(Q = 65\)
• Subtraindo \(Q + K = 185\) de \(D + Q + K = 215\), temos \(D = 30\)

Podemos, agora obter a diferença entre os preços dos ovos de 1kg e 200g:

\(K – D = 120 – 30 = \fbox{90}\)

Essa resolução está correta e nos dá a resposta procurada, mas o custo dela é alto, pois nos tomou muito tempo e, tempo é artigo de luxo em provas de concursos.

Vamos ver agora uma solução mais rápida usando as informações do enunciado.

O exercício não pediu o preço de cada um dos ovos, apenas a diferença do preço do ovo de 1kg e o de 200g.

Vou chamar de Kit as opções de compra:

Kit 1: um ovo de 500 g e um ovo de 1 kg = R$ 185.
Kit 2: um ovo de 200 g e um ovo de 500 g = R$ 95.

Se do valor do Kit 1 eu subtrair o Kit 2, teremos: \(185 – 95 = \fbox{90}\).
Agora vem a jogada, usando as letras da primeira resolução, nós temos:
\(\text{Kit 1 – Kit 2} = K + Q – (Q + D) = K + Q – Q – D = K – D\), ou seja, a diferença entre o ovo de 1kg e de 200g.

✅ Resposta correta: (E) R$ 90

---

📌 RESUMO:
👉 D + Q = 95
👉 D + K = 150
👉 Q + K = 185
Somando: 2D + 2Q + 2K = 430 → D + Q + K = 215
▶ K = 215 – (D + Q) = 120
▶ D = 215 – (Q + K) = 30
👉 Diferença entre o ovo de 1 kg e o de 200 g: K – D = 120 – 30 = 90
✅ Alternativa correta: (E)
🔁 Dica esperta:
Kit 1 (500g + 1kg) – Kit 2 (200g + 500g) = 185 – 95 = 90
→ Isso equivale a K – D

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Em uma reunião, o comitê organizador do CISBAF distribuiu, por ordem de chegada, a cada representante municipal, uma senha dada pela ordem a seguir:
2, 6, 12, 20, 30, 42…
Sabendo-se que os números da sequência seguem um certo padrão lógico, é correto afirmar que a senha do décimo representante corresponde ao número:
A) 74.
B) 92.
C) 106.
D) 110.

RESOLUÇÃO

Primeira maneira – por diferenças sucessivas

Note que a sequência \(2,\ 6, \ 12, \ 20, \ 30, \ 42, \ \ldots \) pode ser obtida da seguinte forma:

\(2 \overset{+4}{\rightarrow} 6 \overset{+6}{\rightarrow} 12 \overset{+8}{\rightarrow} 20 \overset{+10}{\rightarrow} 30 \overset{+12}{\rightarrow} 42\)

Para obter a sequência, partimos do 2 e vamos somando 4, depois 6, depois 8, …

Podemos, simplesmente continuar a sequência, a partir do 6º termo (42) e continuar até o décimo termo:

\(42 + 14 = 56\) (7º termo)
\(56 + 16 = 72\) (8º termo)
\(72 + 18 = 90\) (9º termo)
\(90 + 20 = \fbox{110}\) (10º termo)

Segunda maneira – por soma de P.A.

Agora, vamos usar o que vimos e tirar algumas conclusões sobre a sequência e resolver por fórmulas:

\(2 = 2\)
\(6 = 2 + 4 \)
\(12 = 2 + 4 + 6 \)
\(20 = 2 + 4 + 6 + 8 \)
\(30 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 \)
\(42 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 \)

Podemos perceber que os termos são obtidos da sequência de somas da Progressão Aritmética de razão 2 e primeiro termo 2, isso nos dá um caminho para se obter o 10º termo, basta obter a soma dos 10 primeiro termos dessa P.A.

Lembrando que a fórmula da soma dos termos de uma P.A é dada por:

\(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}\)

Teremos \(S_{10} = \dfrac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2}\)

Sabendo que \(a_1 = 2\) e \(a_{10} = 20\):

\(S_{10} = \dfrac{(2 + 20) \cdot 10}{2} = \dfrac{22 \cdot 10}{2} = \dfrac{220}{2} = \fbox{ 110}\)

✅ Resposta correta: D) 110.

📌 RESUMO:
👉 Sequência: 2, 6, 12, 20, 30, 42, …
👉 Diferenças sucessivas: +4, +6, +8, +10, +12 → padrão: somas crescentes de pares
👉 Próximos termos:
‣ 42 + 14 = 56 (7º)
‣ 56 + 16 = 72 (8º)
‣ 72 + 18 = 90 (9º)
‣ 90 + 20 = 110 (10º)
✅ Alternativa correta: (D)
🔁 Forma alternativa:
‣ 10º termo = soma dos 10 primeiros termos da P.A. (2, 4, 6, …, 20)
‣ S₁₀ = (2 + 20) × 10 ÷ 2 = 110

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