Matemática para Vestibulares

Foco em Medicina

Santa Casa 2025 – Questão Resolvida de Matemática – Probabilidade

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Uma pesquisa envolvendo estudantes que concluíram o ensino médio em certo colégio revelou que 20% deles haviam sido aprovados em algum vestibular e 40% deles haviam feito cursinho. A pesquisa também revelou que a probabilidade de que um estudante que fez cursinho tenha sido aprovado em algum vestibular foi de \(\dfrac{3}{8}\). A probabilidade de que um estudante que foi aprovado em algum vestibular tenha feito cursinho é
(A) \(\dfrac{4}{7}\)

(B) \(\dfrac{3}{4}\)

(C) \(\dfrac{2}{5}\)

(D) \(\dfrac{2}{3}\)

(E) \(\dfrac{5}{6}\)

Vestibular Santa Casa 2025 – Questão Resolvida de Matemática – Análise Combinatória

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Um grupo formado por 3 adultos e 4 crianças resolveu alugar um veículo para a realização de um passeio. Os três adultos têm habilitação, podendo, assim, qualquer um deles assumir a função de motorista. Dessa forma, alugaram um carro com 7 lugares distribuídos em três fileiras de bancos: a primeira fileira com 2 lugares, um dos quais para o motorista, a segunda fileira com 3 lugares e a terceira com 2 lugares. O grupo decidiu que os 2 lugares da última fileira devem ser, obrigatoriamente, ocupados por duas crianças. Nestas condições, o número de diferentes maneiras que essas 7 pessoas podem ser acomodadas no carro é
(A) 1 225.
(B) 12.
(C) 144.
(D) 864.
(E) 6 912.

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FAMERP 2025 – Questão Resolvida de Matemática – Porcentagem

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A tabela indica a relação candidato/vaga no processo seletivo de acesso à pós-graduação de quatro cursos de uma universidade:

Do total de candidatos que participaram do processo seletivo nesses quatro cursos, a porcentagem dos que participaram no curso de Engenharia ficou entre
(A) 27% e 28%.
(B) 31% e 32%.
(C) 16% e 17%.
(D) 36% e 37%.
(E) 43% e 44%.

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FAMERP 2025 – Questão Resolvida de Matemática – Área e Volume de Cilindro

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A área total de um cilindro circular reto é numericamente igual ao seu volume. Se as medidas do raio da base e da altura desse cilindro são, em uma mesma unidade de medida, r e h, respectivamente, então r é igual a:
(A) \(\dfrac{h}{h-1}\)

(B) \(\dfrac{2h}{2-h}\)

(C) \(\dfrac{h}{1-h}\)

(D) \(\dfrac{2h}{h- 2}\)

(E) \(\dfrac{h^2}{h-2}\)

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Vestibular Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática – Análise Combinatória e Probabilidade

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Um dado comum é o objeto obtido pela inscrição dos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nas faces de um cubo, de modo que a soma dos números em faces opostas resulte sempre no mesmo número. A figura mostra uma planificação de um dado comum.

Um dado incomum será definido como o objeto obtido pela inscrição dos números – 4, – 3, – 2, – 1, 0 e 1 nas faces de um cubo, de modo que a soma dos números em faces opostas resulte sempre no mesmo número.
a) A figura mostra uma planificação de um dado com apenas uma face já inscrita com o número 1.

De quantas maneiras distintas é possível inscrever os outros cinco números na planificação indicada de modo a ser uma planificação de um dado incomum?
b) Calcule a probabilidade de, em um lançamento simultâneo de dois dados, sendo um comum e o outro incomum, a soma dos números inscritos nas faces superiores dos dados ser estritamente positiva.

Vestibular Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática: Mudança de Base

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Dados dois inteiros positivos n e B, a representação de n na base B é denotada por \((a_k : a_{k – 1} : \ldots : a_1 : a_0)_B\), em que \(a_i \in \{0, 1, \ldots, B – 1\}\), se:
\(n = a_k \cdot B^k + a_{k – 1} \cdot B^{k – 1} + \ldots + a_1 \cdot B^1 + a_0 \cdot B_0\)
Por exemplo, a representação de 139 na base 8 é
\((2 : 1 : 3)_8\), pois \(139 = 2 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0\). A representação na base 6 do inteiro positivo que tem representação \((1 : 0 : 2 : 6)_7\)
na base 7 é
(A) \((1 : 2 : 3 : 2)_6\)
(B) \((1 : 4 : 0 : 3)_6\)
(C) \((1 : 1 : 4 : 0)_6\)
(D) \((1 : 0 : 5 : 4)_6\)
(E) \((1 : 3 : 1 : 2)_6\)

Vestibular Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática: Gráfico e Porcentagem

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Analise o gráfico que apresenta os números de livros impressos no período de 1475 a 1775 na França, no Reino Unido e na Alemanha.

A análise do gráfico mostra que o total de livros impressos nos 3 países considerados em 1675 teve um acréscimo, em relação ao ano de 1625,
(A) superior a 200%.
(B) entre 120% e 200%.
(C) entre 12% e 25%.
(D) inferior a 12%.
(E) entre 25% e 120%.

Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática – Volume e Razão

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Na figura, estão representados o prisma retorretângulo ABCDEFGH e a pirâmide BCDL. O vértice L da pirâmide está na reta que contém a aresta \(\overline{CG} \) do prisma.
O prisma e a p­irâmide BCDL têm o mesmo volume.

O ponto J está na interseção dos segmentos \(\overline{BL}\) e \( \overline{FG}\), e o ponto K está na interseção dos segmentos \(\overline{DL}\) e \( \overline{GH}\). O volume da pirâmide GJKL, em relação ao volume do prisma, corresponde a

(A) \(\dfrac{125}{216}\)

(B) \(\dfrac{16}{25}\)

(C) \(\dfrac{3}{4}\)

(D) \(\dfrac{25}{36}\)

(E) \(\dfrac{64}{125}\)

Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática – Área de Polígonos

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A figura mostra o quadrado PQRS sobre um ladrilhamento hexagonal regular do plano, em que os vértices P e Q coincidem com vértices de hexágonos do ladrilhamento.


Sabendo que cada um dos hexágonos do ladrilhamento tem 1 cm² de área, a área do quadrado PQRS é
(A) \(\dfrac{9 \sqrt{6}}{2}\) cm²
(B) \(6 \sqrt{3}\) cm²
(C) \(11\) cm²
(D) \(\dfrac{22 \sqrt{2}}{3}\) cm²
(E) \(10\) cm²

Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática: Trigonometria

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No plano, as retas r e s são perpendiculares e se cruzam no ponto P, que pertence à circunferência δ. A reta r passa pelo centro O de δ e contém o ponto R de δ. A reta s forma um ângulo de medida θ com o segmento , em que Q é um ponto de δ, como na figura.

Sabendo que cos θ \(= \dfrac{5}{8}\) e que o raio de δ mede 12 cm, a distância entre os pontos R e Q é de

(A) 15 cm

(B) \(\dfrac{50}{3}\) cm

(C) \(\dfrac{95}{6}\) cm

(D) 16cm

(E) 18 cm

O triângulo \(\Delta RQP\) inscrito na circunferência δ é retângulo, pois um de seus lados, \(\overline{RP}\), é o diâmetro de δ.

Conforme a figura

  • \(\angle Q = 90^\circ\)
  • \(\angle P = 90^\circ – \theta \)
  • \(\angle R = \theta\)

No \(\Delta RQP\) a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) é o diâmetro \(\overline{RP}\), com medida:

\(RP = 2 \cdot 12 = 24\)

O cateto adjacente a \(\angle R\) é o lado \(\overline{RQ}\)

Usando a relação

\(\cos \theta = \dfrac{\text{Cateto Adjacente}}{\text{Hipotenusa}} = \dfrac{RQ}{24} \)

Pelo enunciado, \(\cos \theta = \dfrac{5}{8}\). Logo:

\(\dfrac{RQ}{24} = \dfrac{5}{8}\)

\(RQ = \dfrac{24 \cdot 5}{8}\)

\(RQ = 3 \cdot 5\)

\(RQ = \boxed{15}\)

✅ Resposta correta: (A) 15 cm

Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática: Juros Compostos e Logaritmo

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Geraldo depositou R$ 1.000,00 em uma conta de investi­mento que rende p% por ano. Não tendo feito mais nenhum depósito nessa conta, após 30 anos, o saldo era de R$ 120.000,00. Usando \(\log_{10} 2 = 0,301, \log_{10} 3 = 0,477\) e \(10^{0,0231} = K\), o valor de p é
(A) \(100(K^3-1)\)

(B) \(100 (1 – \dfrac{1}{K^2})\)

(C) \(100( K^2 – 1)\)

(D) \(100(1 – \dfrac{1}{K})\)

(E) \(100(K-1)\)

Propriedades Operatórias

Logaritmos:

\(\log_a b^n = n \log_a b\)

\(\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\)

\(\log_a a = 1\)

Potenciação:

\(\left( a^m \right)^n = a^{m \cdot n}\)

RESOLUÇÃO

A fórmula do Valor Futuro a Juros Compostos é:

\(FV = PV (1+i)^n\)

Onde:

  • FV = Valor Futuro
  • PV = Valor Presente
  • i = taxa de juros
  • n = número de períodos (tempo)

A questão nos dá:

  • FV = 120000
  • PV = 1000
  • i = p% ao ano
  • n = 30 anos

Usando esses dados, temos a seguinte equação:

\(1000 \left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = 120000\)

\(\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = \dfrac{120000}{1000}\)

\(\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = 120\)

Aplicando \(\log_{10}\) em ambos lados:

\(\log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = \log_{10}120 \)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}120 \)

Fazendo \(120 = 2^2 \cdot 3 \cdot 10\)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}(2^2 \cdot 3 \cdot 10) \)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}2^2 + \log_{10} 3 + \log_{10}10 \)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2 \cdot \log_{10} 2 + 0,477 + 1 \)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2 \cdot 0,301 + 1,477 \)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =0,602 + 1,477 \)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2,079 \)

\( \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \dfrac{2,079}{30} \)

\( \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = 0,0693 \)

Aplicando a definição de logaritmo:

\( 1 + \dfrac{p}{100} =10^{0,0693} \)

O passo-chave para usarmos \(10^{0,0231} =K\) é reescrever \(0,0693 = 0,0231 \cdot 3\). Assim:

\( 1 + \dfrac{p}{100} =10^{0,0231 \cdot 3} \)

\( 1 + \dfrac{p}{100} =\left( 10^{0,0231}\right)^3 \)

\( 1 + \dfrac{p}{100} = K^3 \)

\( \dfrac{p}{100} = K^3 -1 \)

\(\boxed{p = 100 (k^3 – 1)}\)

✅ Resposta correta: (A) \(100(K^3-1)\)