Matemática para Vestibulares

Seis pessoas com idades todas diferentes devem formar uma fila. O número de filas diferentes em que a pessoa mais nova é a primeira ou a mais velha é a última é:
(A) 216.
(B) 224.
(C) 230.
(D) 236.
(E) 240.

RESOLUÇÃO

Vamos chamar a pessoa mais nova de N e a mais velha de V.

A quantidade de filas em que a pessoa mais nova é a primeira é representada por:

\(N \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box \)

Note que das 6 pessoas, uma delas está em uma posição fixa, sobrando apenas 5 posições para permutação dos elementos.

\(P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\)

Já a quantidade de filas em que a pessoa mais velha é a última é representada por:

\(\Box \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ V\)

Temos novamente a situação vista no caso anterior, com uma pessoa fixa e apenas 5 posições para permutação dos elementos.

\(P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\)

Esse é um momento perigoso, pois se somarmos esses dois valores, há a alternativa (E) 240, o que pode induzir ao erro. Devemos tomar cuidado e subtrair dessa soma a configuração em que a mais nova é a primeira e a mais velha é a última, representada por:

\(N \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ V\)

Temos agora, duas pessoas em posição fixa e 4 elementos permutáveis.

\(P(4) = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\)

Pelo princípio da Inclusão-Exclusão, temos que somar os valores de N no início \(( N \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box )\) com V no final \(( \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ V)\) e subtrair desse resultado o valor em que temos N no início e V no final simultaneamente \((N \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ V)\).

\(P(5) + P(5) – P(4) = 2 \cdot P(5) – P(4)\)

\(2 \cdot 120 – 24 = 240 – 24 = \fbox{216}\)

✅ Resposta correta: (A) 216.

📌 RESUMO:
👉 Total de pessoas: 6 com idades distintas
👉 Casos:
‣ Mais nova na 1ª posição → 5! = 120
‣ Mais velha na última posição → 5! = 120
‣ Ambas fixas (mais nova 1ª e mais velha última) → 4! = 24
👉 Inclusão-Exclusão:
‣ 120 + 120 – 24 = 216
✅ Alternativa correta: (A)

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COTEC – 2025 – Prefeitura de Ubaí – MG – Auxiliar de Serviços Gerais

Considere 4 números naturais, sendo eles x, y, z e w. Sabe-se que y é sucessor de x, x é par, w é ímpar e z=x+w. Logo, pode-se afirmar que
Alternativas
A) z é o maior número.
B) z é par.
C) x+y+z+w é menor que 10.
D) y+w é par.
E) y é menor que x.

RESOLUÇÃO

Para resolver essa questão, vamos conversar um pouco sobre paridade.
No conjunto dos números naturais, um número é par se for da forma \(2n \text{, com } n \in \mathbb{N}\) e um número é ímpar se for da forma \(2m + 1\text{, com } m \in \mathbb{N}\)
Vamos agora, analisar as combinações das somas entre números pares e ímpares.
Sejam \(2n \text{ e } 2n’\) números pares e \(2m+ 1 \text{ e } 2m’ +1\) números ímpares \(n,n’,m,m’ \in \mathbb{N}\)

• \(2 n + 2n’ = 2(n+n’) \Rightarrow\) PAR + PAR = PAR
• \(2n + (2m + 1) = 2(n + m) + 1 \Rightarrow\) PAR + ÍMPAR = ÍMPAR
• \((2m + 1) + (2m’+ 1) =2m + 2m’ + 2 = 2(m + m’ + 1) \Rightarrow\) ÍMPAR + ÍMPAR = PAR

Informações do Enunciado

• y é sucessor de x ➩ y = x + 1
• x é par ➩ y é o sucessor de x e, portanto, y é ímpar
• w é ímpar ➩ dado
• z = x + w ➩ z = PAR + ÍMPAR ➩ z = ÍMPAR.

Análise das alternativas

A) z é o maior número.
Existe a possibilidade de que w = 1 (1 é ímpar), daí teremos que z = x + 1, mas sabemos que y = x + 1 e, nesse caso z = y, o que impossibilita de afirmar que essa alternativa é verdadeira.

B) z é par.
Já concluímos que z é ímpar, alternativa incorreta.

C) x+y+z+w é menor que 10.
Não podemos afirmar que essa alternativa é verdadeira, se x = 10, por exemplo, a soma x+y+z+w seria maior que 10.

D) y+w é par.
Sabemos que y e w são ambos ímpares, o que nos leva no caso ÍMPAR + ÍMPAR = PAR, tornando essa alternativa verdadeira.

E) y é menor que x.
Falsa, pois y é o sucessor de x, logo y > x.

✅ Resposta correta: D) y+w é par.

📌 RESUMO:

👉 Dados:
‣ x é par → y = x + 1 → y é ímpar
‣ w é ímpar
‣ z = x + w → par + ímpar = ímpar

👉 Testando alternativas:

• (A) Não necessariamente verdadeiro
• (B) z é ímpar → falso
• (C) Depende do valor de x → falso
• (D) y + w = ímpar + ímpar = par → verdadeiro
• (E) y > x → falso

✅ Alternativa correta: (D)

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O administrador de certa empresa está organizando uma festa de confraternização entre os funcionários. O proprietário do salão de festas cobra R$ 1.560,00 pelo aluguel e, além disso, cobra R$ 35,00 pela refeição de cada pessoa. Se cada pessoa paga R$ 65,00 para participar da festa, o número mínimo de pessoas que terão que participar dessa festa para cobrir as despesas com aluguel é
(A) 46.
(B) 52.
(C) 24.
(D) 36.
(E) 48.

RESOLUÇÃO

Como cada pessoa paga R$ 65,00 para participar da festa, vamos ver qual parte desse valor é destinado a cobrir o custo do salão de festas, uma vez que R$ 35,00 é o preço da refeição de cada pessoa.

\(65 – 35 = 30\)

Agora, sabemos que sobra R$ 30,00 do valor do convite após descontar o preço da refeição, como o preço do aluguel do salão de festas é R$ 1560,00, vamos dividir esse valor por 30.

\(1560 \div 30 = \fbox{52}\)

Logo, o número mínimo de pessoas que terão que participar dessa festa para cobrir as despesas com aluguel é 52.

✅ Resposta correta: (B) 52.

📌 RESUMO:

👉 Cada pessoa paga R$ 65,00
👉 Refeição custa R$ 35,00
▶ Sobra R$ 30,00 por pessoa para cobrir o aluguel
👉 Aluguel = R$ 1.560,00
▶ 1.560 ÷ 30 = 52 pessoas necessárias para cobrir o custo
✅ Alternativa correta: (B)

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Miguel e Carlos treinam caminhadas e percorrem, cada um, determinada distância em 6 dias. No total, Miguel e Carlos caminham 132km. Carlos caminha 2km a mais que Miguel por dia. Então, Carlos e Miguel caminham, por dia, respectivamente:
a) Carlos caminha 10km por dia e Miguel caminha 12km por dia
b) Carlos caminha 65km por dia e Miguel caminha 67km por dia
c) Carlos caminha 12km por dia e Miguel caminha 10km por dia
d) Carlos caminha 67km por dia e Miguel caminha 65km por dia

RESOLUÇÃO

Temos uma questão envolvendo Sistema de Equações da banca IBFC

Vamos chamar a distância que Miguel e Carlos percorrem por dia respectivamente de M e C.

Sabemos que Miguel e Carlos percorrem em 6 dias é de 132 km, como nossas incógnitas estão em distância por dia, temos:

\(M + C = \dfrac{132}{6} \Rightarrow M + C = 22 \text{ (Eq. I)}\)

A afirmação que Carlos caminha 2km a mais que Miguel pode ser escrita como:

\(C = M + 2 \text{ (Eq. II)}\)

Vamos substituir a informação obtida na Equação II na Equação I:

\(M + M + 2 = 22\)

\(2M = 22 – 2\)

\(M = \dfrac{20}{2} \Rightarrow \fbox{M = 10}\)

Sabendo que Miguel caminha 10 km por dia, vamos obter a distância que Carlos percorre por dia pela Equação II:

\(C = M + 2 \Rightarrow C = 10 + 2 \Rightarrow \fbox{C = 12}\)

Conclusão: Carlos caminha 12 km por dia e Miguel caminha 10 km por dia

✅ Resposta correta: c) Carlos caminha 12km por dia e Miguel caminha 10km por dia

📌 RESUMO:

👉 Total em 6 dias: Miguel + Carlos = 132 km
▶ Por dia: M + C = 132 ÷ 6 = 22
👉 Carlos caminha 2 km a mais: C = M + 2
👉 Substituindo:
‣ M + (M + 2) = 22 → 2M = 20 → M = 10
‣ C = 10 + 2 = 12
✅ Alternativa correta: (c)
▶ Miguel: 10 km/dia | Carlos: 12 km/dia

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VUNESP – 2025 – Prefeitura de Campinas – SP – Agente de Fiscalização

Sobre um débito no valor de R$ 180,00, foi aplicada uma multa de 14%. Do valor dessa multa, 25% são destinados a custear despesas administrativas do órgão aplicador da multa, o que corresponde ao valor de

(A) R$ 0,63.
(B) R$ 7,02.
(C) R$ 19,80.
(D) R$ 1,98.
(E) R$ 6,30.

RESOLUÇÃO

Lembre-se: Porcentagens são frações com o denominador igual a 100.

Cálculo em duas etapas

Primeira etapa: Calculamos 14% de 180 .

\(\dfrac{14}{100} \times 180 = \dfrac{14 \times 180}{100} = \dfrac{2520}{100} = 25,20 \)

Segunda etapa: Calculamos 25% de 25,20:

\(\dfrac{25}{100} \times 25,20 = \dfrac{25 \times 25,20}{100} = \dfrac{630}{100} = \fbox{6,30}\)

Concluímos que o valor destinado a custear as despesas administrativas é R$ 6,30.

Cálculo direto (porcentagem da porcentagem)

Nessa forma, calculamos 14% de 25% de 180.

\(\dfrac{14}{100} \times \dfrac{25}{100} \times 180 = \dfrac{14 \times 25 \times 180}{100 \times 100} = \dfrac{63000}{10000} = \fbox{6,30}\)

Confirmamos o resultado: R$ 6,30.

✅ Resposta correta: (E) R$ 6,30.

📌 RESUMO:

👉 Valor do débito: R$ 180,00
▶ Multa: 14% de R$ 180,00 = R$ 25,20
▶ Despesas administrativas: 25% de R$ 25,20 = R$ 6,30

💡 Cálculo direto:
‣ 14% de 25% de 180 → (14 × 25 × 180) ÷ 10.000 = R$ 6,30

✅ Alternativa correta: (E)

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FCC – 2025 – TRT – 15ª Região (SP) – Analista Judiciário – Área Apoio Especializado – Especialidade: Engenharia (Segurança do Trabalho)

Uma indústria de pequeno porte possui 40 trabalhadores, sendo que cada um trabalha uma quantidade diferente de horas por mês, conforme apresentado na tabela a seguir.

Quantidade de trabalhadores	Horas trabalhadas por cada um por mês (h)
10	200
5	150
5	100

Com base nos dados apresentados, o cálculo de horas-homem de exposição ao risco é igual a

A) 1.250.
B) 2.000.
C) 500.
D) 750.
E) 3.250.

RESOLUÇÃO

Para resolver essa questão vamos copiar a tabela do enunciado e acrescentar uma terceira coluna onde calcularemos o produto horas x homem e na última linha e coluna da tabela obteremos a soma desses produtos.

Homens	Horas	Horas-homem
10	200	2.000
5	150	750
5	100	500
Total		3.250

A tabela nos mostra o cálculo de horas-homem de exposição ao risco é igual a 3.250.

Alternativa E) 3.250.

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Prova: IBFC – 2025 – SES-SE – Nutricionista

Embalagens com 30g de creme para as mãos manipulados em farmácia levam 20g de um creme hidratante simples e rendem 60 aplicações. Para que se tenha um rendimento de 90 aplicações será necessário que:

A) A embalagem tenha 60g e 45g do creme hidratante simples
B) A embalagem tenha 90g e 45g do creme hidratante simples
C) A embalagem tenha 45g e 20g do creme hidratante simples
D) A embalagem tenha 45g e 30g do creme hidratante simples

RESOLUÇÃO

Inicialmente, vamos montar uma tabela para visualizar melhor a situação:

Embalagem (g)	Hidratante (g)	Aplicações
30	20	60
x	y	90

Para se obter a quantidade em gramas da embalagem de creme, vamos montar uma regra de três simples, considerando que as grandezas creme e aplicações são diretamente proporcionais.

\(\dfrac{30}{x} = \dfrac{60}{90}\)

Multiplicando em cruz:

\(60 x = 30 \times 90\)

\(x = \dfrac{2700}{60}\)

\(x= \fbox{45}\)

A embalagem de creme deve ter 45 g.

Para se obter a quantidade em gramas de hidratante, o procedimento é o mesmo:

\(\dfrac{20}{y} = \dfrac{60}{90}\)

Multiplicando em cruz:

\(60 y = 20 \times 90\)

\(y = \dfrac{1800}{60}\)

\(y = \fbox{30}\)

Serão necessários 30 g de hidratante.

Alternativa D) A embalagem tenha 45g e 30g do creme hidratante simples

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CESGRANRIO – 2025 – BANESE – Técnico Bancário

Considere que em uma empresa há um total de 200 funcionários, dos quais apenas 20% são mulheres. Sabe-se que, se x mulheres forem contratadas, o percentual de funcionários mulheres subirá para 50%.
Qual a soma dos algarismos desse número x?

A) 3
B) 5
C) 6
D) 8
E) 9

RESOLUÇÃO

Inicialmente, sabendo que a porcentagem de mulheres é 20%, vamos descobrir o número de mulheres e de homens:

Mulheres: \(\dfrac{20}{100} \times 200 = \dfrac{4000}{100} = 40\)
Homens: \(200 – 40 = 160\)

Para que o percentual de mulheres seja 50%, a porcentagem de homens deve ser 100% – 50% = 50%, ou seja, a quantidade de mulheres deve se igualar com a quantidade de homens.

Fazendo \(x = 160 – 40 \Rightarrow x= 120\), obtemos o número de mulheres a serem contratadas.

Buscamos a soma dos algarismos de \(x = 120 \), sendo assim, temos:

\(120 \Rightarrow 1 + 2 + 0 = \fbox{3}\)

Alternativa A) 3

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Quadrix – 2025 – CRMV-TO – Fiscal – Médico Veterinário

Foi realizada uma pesquisa com 120 crianças para saber quais ovos de Páscoa elas gostariam de ganhar. Duas marcas destacaram‑se: Menino e Cacauzito. Assim:

• 73 crianças escolheram o ovo da marca Menino.
• 49 crianças escolheram o ovo da marca Cacauzito.
• 28 crianças não escolheram ovos dessas marcas.

Com base nessa situação hipotética, assinale a opção que apresenta a porcentagem de crianças que escolheram ambos os ovos de Páscoa, Menino e Cacauzito.

(A) 10%
(B) 15%
(C) 20%
(D) 25%
(E) 30%

RESOLUÇÃO

Vamos criar um diagrama com M representando a marca Menino e C representando Cacauzito, já considerando as 28 crianças não escolheram ovos dessas marcas.

Como o total de crianças é 120, devemos subtrair as crianças que não escolheram ovos destas duas marcas para saber a quantidade em cada setor do diagrama.

120 – 28 = 92

Sabemos também que 73 crianças escolheram o ovo da marca Menino e 49 crianças escolheram o ovo da marca Cacauzito.

Somamos esses valores 73 + 49 = 122.

Chegamos em um valor acima de 92, isso ocorre pelo fato de haver crianças na intersecção de C e M, uma forma prática de descobrir a quantidade de indivíduos nessa intersecção é pensar no seguinte:

Preciso colocar 122 elementos onde só cabem 92, daí calculamos a diferença \(122 – 92 = 30\), dessa forma obtemos a quantidade da intesecção.

Para completar o diagrama, vamos subtrair 30 tanto dos 73 que escolheram M quanto dos 49 que escolheram C.

(M) 73 – 30 = 43
(C) 49 – 30 = 19

Teremos o nosso Diagrama completo:

Finalmente podemos responder a pergunta do enunciado.

A fração de crianças que escolheram ambos os ovos de páscoa é:

\(\dfrac{30}{120} = \dfrac{30 \div 30}{120\div30} = \dfrac{1}{4}\)

Como queremos a reposta em porcentagem:

\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1\times 25}{4\times 25} = \dfrac{25}{100} = \fbox{25\%}\)

Alternativa (D) 25%

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FGV – 2025 – SEPLAN-SE – Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental

Abel, Breno, Ciro e Diogo dividem um apartamento alugado e precisaram fazer uma pequena obra de manutenção e melhorias. Para pagar o custo da obra cada um dos quatro contribuiu com uma quantia diferente, de acordo com suas possibilidades. Sabe-se que:

• Abel deu a terça parte da quantia que os outros três deram juntos.
• Breno deu a quarta parte da quantia que os outros três deram juntos.
• Ciro deu a quinta parte da quantia que os outros três deram juntos.
• Diogo deu 2300 reais.

O custo total da obra foi um valor:
(A) menor que 5300 reais.
(B) entre 5300 e 5650 reais.
(C) entre 5650 e 5950 reais.
(D) entre 5950 e 6200 reais.
(E) maior que 6200 reais.

RESOLUÇÃO

Inicialmente, vamos associar a inicial do nome a quantia com que cada um dos quatro contribuiu:
Abel = A
Breno = B
Ciro = C
Diogo = D
Dessa forma, o valor total da obra será dado por \(A+B+C+D\)
De acordo com as informações do enunciado, vamos modelar as equações para descobrir o valor total da obra.

• Abel deu a terça parte da quantia que os outros três deram juntos.
  \(A = \dfrac{B+C+D}{3} \Rightarrow 3A = B + C + D \)
• Breno deu a quarta parte da quantia que os outros três deram juntos.
  \(B = \dfrac{A+C+D}{4} \Rightarrow 4B = A + C + D\)
• Ciro deu a quinta parte da quantia que os outros três deram juntos.
  \(C = \dfrac{A+B+D}{5} \Rightarrow 5C = A + B + D \)
• Diogo deu 2300 reais.
  \(D = 2300\)

Substituindo D por 2300 em nas três primeiras equações, temos:
\(\begin{cases} 3A = B + C + 2300 \\ 4B = A + C + 2300 \\ 5C = A + B + 2300 \end{cases}\)
O que nos dá:
\(\begin{cases} 3A – B – C = 2300 \\ 4B – A – C = 2300 \\ 5C – A – B = 2300 \end{cases}\)
Observe que no sistema acima, em todas as equações, o lado direito é igual a 2300, dessa forma podemos igualar o lado esquerdo da primeira equação com o lado esquerdo da segunda e da terceira equação:
\(\begin{cases} 3A – B – C = 4B – A – C \\ 3A – B – C = 5C – A – B \end{cases}\)
Vamos desenvolver
\(3A – B – C = 4B – A -C \Rightarrow 4A = 5B \Rightarrow \dfrac{4A}{5} = B\)

\(3A – B – C = 5C – A – B \Rightarrow 4A = 6C \Rightarrow \dfrac{4A}{6} = C \dfrac{2A}{3}=C\)
Agora podemos obter o valor de A, por substituição de B e C em \(3A – B – C = 2300\)
\(3A – \dfrac{4A}{5} – \dfrac{2A}{3} = 2300\)

\(\dfrac{45A – 12A -10A}{15} = 2300\)

\(23A = 15\times 2300\)

\(A = \dfrac{15 \times 2300}{23}\)

\(A = 15 \times 100\)

\(A = 1500\)

Agora, vamos obter os valores de B e C
\(B = \dfrac{4A}{5} = \dfrac{4 \times 1500}{5} = \dfrac{6000}{5} = 1200\)

\(C = \dfrac{2A}{3} = \dfrac{2 \times 1500}{3} = \dfrac{3000}{3} = 1000\)

Finalmente podemos obter o custo total da obra:
\(A +B +C +D = 1500 + 1200 + 1000 + 2300 = \fbox{6000}\)

Alternativa (D) entre 5950 e 6200 reais.

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FCC – 2025 – TRT – 15ª Região (SP) – Analista Judiciário – Área Apoio Especializado – Especialidade: Engenharia (Civil)
No basquete é possível marcar cestas de 3 pontos, de 2 pontos ou de 1 ponto. Em um jogo, um time marcou 86 pontos e fez 40 cestas. Se nesse jogo foram feitas 12 cestas de 3 pontos, o número de cestas de 1 ponto feitas foi
A) 12.
B) 4.
C) 10.
D) 6.
E) 8.

RESOLUÇÃO

Inicialmente vamos descontar os pontos e as cestas de 3 pontos do total:
De 40 cestas vamos subtrair as 12 cestas de três pontos.
\(40-12 = 28\)

Dos 86 pontos vamos subtrair os pontos marcados nas 12 cestas de três pontos.
\(86 – 3 \times 12 = 86 – 36 = 50\)
As 28 cestas de um ou dois pontos foram responsáveis por 50 pontos.

Vamos chamar de x a quantidade de cestas de um ponto e de y a quantidade de cestas de dois pontos e, com isso, modelar a situação através de um sistema de equações.

\(\begin{cases} x + y = 28 \\ x + 2y = 50 \end{cases}\)

Como queremos saber a quantidade de cestas de um ponto (x), vamos isolar (y) na primeira equação:
\(x+y = 28 \Rightarrow y = 28 – x\)

Substituindo y por 28 – x na segunda equação:
\(x + 2(28-x) = 50\)
\(x + 56 – 2x = 50\)
\(-x = 50 – 56\)
\(-x = -6\)
Mudando o sinal em ambos os lados:
\(x = \fbox{6}\)

Portanto, o número de cestas de um ponto foi:
Alternativa D) 6.

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Ano: 2025 Banca: IBFC Órgão: SES-SE Prova: IBFC – 2025 – SES-SE – Nutricionista 

Num ambulatório, considerando todas as especialidades, 3 não atrasam no atendimento; 2 atrasam 10 minutos; 2 atrasam 15 minutos e 3 atrasam 30 minutos. O tempo médio de atraso nesse ambulatório é: 

A) 18,33 minutos
B) 20 minutos
C) 14 minutos
D) 13,75 minutos

RESOLUÇÃO

Para obtermos o tempo médio de atraso vamos multiplicar o número de especialidades que atrasam pelo tempo do atraso e dividir pela soma de especialidades:
\(\overline{x} = \dfrac{3 \times 0 + 2 \times 10 + 2 \times 15 + 3 \times 30}{3+2+2+3} \)

\(\overline{x} = \dfrac{0 + 20 + 30 + 90}{10} \)

\(\overline{x} = \dfrac{140}{10} \)

\(\overline{x} = \fbox{14} \)

Alternativa C) 14 minutos

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