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FGV – 2025 – SEPLAN-SE – Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental – Sistema de Equações – Questão Resolvida

FGV – 2025 – SEPLAN-SE – Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental

Abel, Breno, Ciro e Diogo dividem um apartamento alugado e precisaram fazer uma pequena obra de manutenção e melhorias. Para pagar o custo da obra cada um dos quatro contribuiu com uma quantia diferente, de acordo com suas possibilidades. Sabe-se que:

  • Abel deu a terça parte da quantia que os outros três deram juntos.
  • Breno deu a quarta parte da quantia que os outros três deram juntos.
  • Ciro deu a quinta parte da quantia que os outros três deram juntos.
  • Diogo deu 2300 reais.

O custo total da obra foi um valor:
(A) menor que 5300 reais.
(B) entre 5300 e 5650 reais.
(C) entre 5650 e 5950 reais.
(D) entre 5950 e 6200 reais.
(E) maior que 6200 reais.

RESOLUÇÃO

Inicialmente, vamos associar a inicial do nome a quantia com que cada um dos quatro contribuiu:
Abel = A
Breno = B
Ciro = C
Diogo = D
Dessa forma, o valor total da obra será dado por A+B+C+D
De acordo com as informações do enunciado, vamos modelar as equações para descobrir o valor total da obra.

  • Abel deu a terça parte da quantia que os outros três deram juntos.
    A = \dfrac{B+C+D}{3} \Rightarrow 3A = B + C + D
  • Breno deu a quarta parte da quantia que os outros três deram juntos.
    B = \dfrac{A+C+D}{4} \Rightarrow 4B = A + C + D
  • Ciro deu a quinta parte da quantia que os outros três deram juntos.
    C = \dfrac{A+B+D}{5} \Rightarrow 5C = A + B + D
  • Diogo deu 2300 reais.
    D = 2300

Substituindo D por 2300 em nas três primeiras equações, temos:
\begin{cases} 3A = B + C + 2300 \\ 4B = A + C + 2300 \\ 5C = A + B + 2300 \end{cases}
O que nos dá:
\begin{cases} 3A - B - C = 2300 \\ 4B - A - C = 2300 \\ 5C - A - B = 2300 \end{cases}
Observe que no sistema acima, em todas as equações, o lado direito é igual a 2300, dessa forma podemos igualar o lado esquerdo da primeira equação com o lado esquerdo da segunda e da terceira equação:
\begin{cases} 3A - B - C = 4B - A - C \\ 3A - B - C = 5C - A - B \end{cases}
Vamos desenvolver
3A - B - C = 4B - A -C \Rightarrow 4A = 5B \Rightarrow \dfrac{4A}{5} = B

3A - B - C = 5C - A - B \Rightarrow 4A = 6C \Rightarrow \dfrac{4A}{6} = C \dfrac{2A}{3}=C
Agora podemos obter o valor de A, por substituição de B e C em 3A - B - C = 2300
3A - \dfrac{4A}{5} - \dfrac{2A}{3} = 2300

\dfrac{45A - 12A -10A}{15} = 2300

23A = 15\times 2300

A = \dfrac{15 \times 2300}{23}

A = 15 \times 100

A = 1500

Agora, vamos obter os valores de B e C
B = \dfrac{4A}{5} = \dfrac{4 \times 1500}{5} = \dfrac{6000}{5} = 1200

C = \dfrac{2A}{3} = \dfrac{2 \times 1500}{3} = \dfrac{3000}{3} = 1000

Finalmente podemos obter o custo total da obra:
A +B +C +D = 1500 + 1200 + 1000 + 2300 = \fbox{6000}

Alternativa (D) entre 5950 e 6200 reais.

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