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FGV 2025 – SEPLAN-SE – Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental – Análise Combinatória – Questão Resolvida

Seis pessoas com idades todas diferentes devem formar uma fila. O número de filas diferentes em que a pessoa mais nova é a primeira ou a mais velha é a última é:
(A) 216.
(B) 224.
(C) 230.
(D) 236.
(E) 240.

RESOLUÇÃO

Vamos chamar a pessoa mais nova de N e a mais velha de V.

A quantidade de filas em que a pessoa mais nova é a primeira é representada por:

N \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box

Note que das 6 pessoas, uma delas está em uma posição fixa, sobrando apenas 5 posições para permutação dos elementos.

P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

Já a quantidade de filas em que a pessoa mais velha é a última é representada por:

\Box \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ V

Temos novamente a situação vista no caso anterior, com uma pessoa fixa e apenas 5 posições para permutação dos elementos.

P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

Esse é um momento perigoso, pois se somarmos esses dois valores, há a alternativa (E) 240, o que pode induzir ao erro. Devemos tomar cuidado e subtrair dessa soma a configuração em que a mais nova é a primeira e a mais velha é a última, representada por:

N \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ V

Temos agora, duas pessoas em posição fixa e 4 elementos permutáveis.

P(4) = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

Pelo princípio da Inclusão-Exclusão, temos que somar os valores de N no início ( N \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box ) com V no final ( \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ V) e subtrair desse resultado o valor em que temos N no início e V no final simultaneamente (N \ \Box \ \Box \ \Box \ \Box \ V).

P(5) + P(5) - P(4) = 2 \cdot P(5) - P(4)

2 \cdot 120 - 24 = 240 - 24 = \fbox{216}

✅ Resposta correta: (A) 216.

📌 RESUMO:
👉 Total de pessoas: 6 com idades distintas
👉 Casos:
‣ Mais nova na 1ª posição → 5! = 120
‣ Mais velha na última posição → 5! = 120
‣ Ambas fixas (mais nova 1ª e mais velha última) → 4! = 24
👉 Inclusão-Exclusão:
‣ 120 + 120 – 24 = 216
✅ Alternativa correta: (A)

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