CESGRANRIO 2025 -BANESE – Técnico Bancário – Função Composta – Questão Resolvida

Sejam $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+_*$ e $g: \mathbb{R}^+_* \to \mathbb{R}$ as funções algebricamente definidas por $f(x)=3^{2x}$ e $g(x)=\log_9(x)$ .
Para todo $x > 0$ , tem-se que $f(g(x))$ é igual a
(A) $x$
(B) $x^2$
(C) $\dfrac{x^2}{2}$
(D) $2x^2$
(E) $\sqrt{x}$

Esta questão envolve função composta e uso de propriedades de potências e logaritmos.

Lembre-se: $\left(a^m \right)^n = a^{m \cdot n}$
$a^{\log_a b} = b$ , com $b>0, a > 0 \text{ e } a \neq 1$ )

Queremos calcular $f(g(x))$ , dados $\begin{cases} f(x) = 3^{2x} \\ g(x) = \log_9(x) \end{cases}$

Desenvolvendo:

$f(g(x)) = 3^{2 \cdot g(x)}$

Vamos usar a propriedade da potenciação: $\left(a^m \right)^n = a^{m \cdot n}$

$3^{2 \cdot g(x)} = \left( 3^2 \right)^{g(x)} = 9^{g(x)}$

Sabendo que $g(x) = \log_9(x)$ , temos:

$9^{g(x)} = 9^{\log_9(x)}$

$f(g(x)) = \left(3^2\right)^{\cdot\log_9 (x)}$

$f(g(x)) = 9^{\cdot\log_9 (x)}$

Pela propriedade de logaritmos: $a^{\log_a b} = b$ , com $b>0, a > 0 \text{ e } a \neq 1$ )

$9^{\cdot\log_9 (x)} = x$

Alternativa (A) $x$

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