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CESGRANRIO – 2021 – Banco do Brasil – Escriturário – Agente Comercial – Bissecção – Questão Resolvida

O método da bisseção é um algoritmo usado para encontrar aproximações das raízes de uma equação. Começa-se com um intervalo [a,b], que contém uma raiz, e, em cada passo do algoritmo, reduz-se o intervalo pela metade, usando-se um teorema para determinar se a raiz está à esquerda ou à direita do ponto médio do intervalo anterior. Ou seja, após o passo 1, obtém-se um intervalo de comprimento \dfrac{b-a}{2} ; após o passo 2, obtém-se um intervalo de comprimento \dfrac{b-a}{4} ; e após o passo n, obtém-se um intervalo de comprimento \dfrac{b-a}{2 n} . Esse processo continua até que o intervalo obtido tenha comprimento menor que o erro máximo desejado para a aproximação.
Para aplicar esse método no intervalo [1,5], quantos passos serão necessários para obter-se um intervalo de comprimento menor que 10^{-3} ?
(A) 9
(B) 10
(C) 11
(D) 12
(E) 13

Queremos que o intervalo seja menor que 10^{-3} e temos a informação do intervalo inicial que vai de 1 a 5.

a = 1
b = 5
b-a = 5-1=4

Precisamos descobrir qual o valor de n tal que \dfrac{5-1}{2^n} < 10^{-3}

\dfrac{4}{2^n} < 10^{-3} \Rightarrow \dfrac{2^2}{2^n} < 10^{-3}

Usando a propriedade: \dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}

2^{2-n} < 10^{-3}

Outra propriedade: a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

\dfrac{1}{2^{n-2}} < \dfrac{1}{10^3}

Uma outra propriedade: a<b \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}

2^{n-2} > 10^3

Como 10^3 = 1000, vamos procurar a menor potência de dois que seja maior do que mil.

2^0 = 1
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16
2^5 = 32
2^6 = 64
2^7 = 128
2^8 = 256
2^9 = 512
2^{10} = 1024

Como 2^{10} = 1024 > 1000, podemos obter o valor de n através da equação:

2^{n-2} = 2^{10}
n-2= 10
n = 10 + 2
n = \boxed{12}

✅ Resposta correta: (D) 12

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