Albert Einstein, Vestibular

Vestibular Albert Eintein 2025 – Questão Resolvida de Matemática – Área de Triângulo

No plano cartesiano, a reta r, de equação $y = - \dfrac{5}{2}x + 12$ , intersecta a reta s, de equação $y = x + 5$ , no ponto P. A reta r intersecta o eixo x no ponto R, e a reta s intersecta o eixo y no ponto S, como na figura.

A área do triângulo de vértices PRS é
(A) $\dfrac{44}{5}$

(B) $\dfrac{47}{5}$

(C) $\dfrac{51}{5}$

(D) $\dfrac{54}{5}$

(E) $\dfrac{49}{5}$

O primeiro passo será obter as coordenadas dos pontos P, R e S.

Para obter o ponto P, vamos buscar a intersecção das retas r e s.

$\begin{cases} r: y = - \dfrac{5}{2}x + 12 \\ s: y = x + 5 \end{cases}$

Substituindo $y = x+5$ em r:

$x + 5 = - \dfrac{5}{2}x + 12$

$x + \dfrac{5}{2}x = 12 - 5$

$\dfrac{7x}{2} = 7$

$x = \dfrac{2 \cdot 7}{7}$

$x = 2$

$y = 2 + 5$

$y = 7$

Portanto, $P(2,7)$

O ponto R é obtido fazendo $y = 0$ em r:

$0 = - \dfrac{5}{2}x + 12$

$\dfrac{5}{2}x = 12$

$x = \dfrac{2 \cdot 12}{5}$

$x = \dfrac{24}{5}$

Portanto, $R \left( \dfrac{24}{5},0 \right)$

O ponto S é obtido fazendo $x = 0$ em s:

$y = 0 + 5$

$y = 5$

Portanto, $S(0,5)$

O segundo passo, agora que sabemos as coordenadas dos vértices do triângulo, é utilizar a fórmula da área $A = \dfrac{1}{2} |D|$ , sendo $D$ o determinante da matriz $3 \times 3$ das coordenadas dos vértices.

Calculando $D$ :

$D = \begin{vmatrix} 2 & 7 & 1 \\ \frac {24}{5} & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{vmatrix}$

$D = 0 +0 + 24 - 0 - 10 - \dfrac{168}{5}$

$D = \dfrac{120 - 50 -168}{5}$

$D = - \dfrac{98}{5}$

Com o determinante calculado, podemos aplicar a fórmula da área: $A = \dfrac{1}{2} |D|$ .

$A = \dfrac{1}{2} \cdot \left| -\dfrac{98}{5} \right| = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{98}{5} = \boxed{\dfrac{49}{5}}$

✅ Resposta correta: (E) $\dfrac{49}{5}$

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