Considere a montagem a seguir, que forma a palavra C­OMBINATÓRIA ao se fazer um caminho que inicia em uma das letras C e segue, sempre, para a direita ou para baixo.

Na palavra em destaque na montagem, o caminho partiu de C, foi para a direita, desceu, foi para a direita, desceu e foi para a direita, mudando de direção 4 vezes e descendo um total de 6 letras. Caso o caminho começasse da letra C mais ao alto, só seria possível descer; logo, não teria acontecido mudança de direção e teria descido 11 letras. Caso o caminho começasse da letra C mais abaixo, só seria possível ir para a direita; logo, não teria acontecido mudança de direção e não teria descido letra alguma.
O número de caminhos distintos que se pode fazer para formar COMBINATÓRIA, de modo a descer mais de 8 letras e mudar de direção exatamente 3 vezes, ou a descer menos de 3 letras e mudar de direção exatamente 2 vezes, é igual a
(A) 31.
(B) 34.
(C) 41.
(D) 15.
(E) 63.

O objetivo desta questão é contar o número de caminhos distintos que satisfazem uma de duas condições complexas. Em vez de nos perdermos em fórmulas de combinatória, nossa estratégia será traduzir o problema para um modelo mais simples e contar os casos de forma inteligente.

O plano de ataque será o seguinte:

1. Modelagem do Problema (O Modelo das Flechas): Primeiro, simplificamos o problema. Um caminho de “direita ou para baixo” para formar a palavra “combinatória” (12 letras) consiste em 11 movimentos. Vamos representar um movimento para baixo como “B” e um para a direita como “D”. O problema se resume a arranjar sequências de “B”s e “D”s. Uma “mudança de direção” ocorre quando trocamos de B para D ou de D para B.
2. Análise do Caso 1 (Descer > 8, 3 mudanças):
   • Identificamos que “descer mais de 8” significa ter 9, 10 ou 11 flechas “B”.
   • Descartamos os casos com 10 e 11 “B”s, pois é impossível ter 3 mudanças de direção.
   • Focamos no caso principal: 9 flechas “B” e 2 flechas “D”. Para ter 3 mudanças, a sequência de movimentos deve ter 4 blocos, alternando entre B e D (ex: B... D... B... D...).
   • Usamos a técnica de encaixe: contamos de quantas maneiras podemos posicionar as 2 flechas “D” nos espaços disponíveis entre as 9 flechas “B” (e vice-versa), chegando ao total de possibilidades para este caso.
3. Análise do Caso 2 (Descer < 3, 2 mudanças):
   • Identificamos que “descer menos de 3” significa ter 0, 1 ou 2 flechas “B”.
   • Descartamos o caso com 0 “B”s (sem mudanças de direção).
   • Analisamos os dois subcasos restantes:
     • 1 “B” e 10 “D”s: Para 2 mudanças, o padrão deve ser D... B... D.... Usamos a técnica de encaixe para posicionar a única flecha “B” nos espaços entre as “D”s.
     • 2 “B”s e 9 “D”s: Para 2 mudanças, os padrões podem ser D... B... D... ou B... D... B.... Novamente, usamos a contagem por encaixe para cada padrão.
4. Soma Final: Como o enunciado usa a conjunção “ou”, somamos o total de possibilidades encontradas no Caso 1 e no Caso 2 para chegar à resposta final.

Assista ao vídeo acima para ver como o modelo de flechas simplifica o raciocínio e como a técnica de encaixe transforma um problema complexo em uma contagem rápida e direta.

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