Ana e Bia pensaram, de forma aleatória e independentemente uma da outra, em um número inteiro maior do que 1 e menor do que 10. A probabilidade de que a diferença entre esses dois números (considerada nula ou positiva) seja menor do que 2 é

(A) 11/64
(B) 11/32
(C) 15/32
(D) 11/16
(E) 15/64

Resolução:

Inicialmente, vamos determinar os números que podem ser escolhidos. A informação do enunciado nos diz que cada uma pode escolher um número inteiro maior do que 1 e menor do que 10, o que nos dá as possibilidades:

2, 3 ,4 ,5 ,6, 7, 8, 9

Temos 8 possibilidades de escolha para cada uma delas, o que nos dará, a seguinte dimensão de espaço amostral:

A diferença entre esses dois números deve ser menor do que 2, então, vamos fixar a primeira escolha sendo a de Ana e depois a de Bia.

1º Caso: Bia pensa no mesmo número que Ana. (A – B = 0)

Neste caso, Ana tem 8 possibilidades e Bia, deve escolher o mesmo número, restringindo sua escolha a 1 possibilidade.

2° Caso: Bia pensa no sucessor da escolha de Ana (A – B = -1)

Neste caso, Ana tem 7 possibilidades, pois o número 9 não terá sucessor no conjunto de possibilidades de escolhas e, novamente, a escolha de Bia se restringe a uma única possibilidade, o sucessor do número de Ana.

3º Caso: Bia pensa no antecessor da escolha de Ana (A – B = 1)

É uma caso similar ao segundo, só que dessa vez o número 2 não terá antecessor no conjunto de possibilidades de escolhas para Ana, que terá 7 opções e, novamente, Bia fica restrita a uma única escolha.

Agora, podemos calcular a probabilidade da diferença entre as escolhas de Ana e Bia serem menores do que 2, vamos chamar esse evento de D, e assim teremos:

Simplificando o numerador e o denominador (ambos pares)

O que nos dá alternativa (B) 11/32 como gabarito.

Visualmente poderíamos criar uma tabela de diferenças modulares, considere a primeira linha escolhas da Ana e a primeira coluna as escolhas da Bia.

Δ	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	1	2	3	4	5	6	7
3	1	0	1	2	3	4	6	6
4	2	1	0	1	2	3	4	5
5	3	2	1	0	1	2	3	4
6	4	3	2	1	0	1	2	3
7	5	4	3	2	1	0	1	2
8	6	5	4	3	2	1	0	1
9	7	6	5	4	3	2	1	0

Note que temos uma matriz de diferenças modulares 8 por 8 com uma diagonal de 8 elementos com diferença 0 (zero) e 2 diagonais de 7 elementos com diferença 1.

O que nos confirma

Alternativa (B) 11/32