Albert Einstein 2026 – Trigonometria – Questão 45

No plano, os triângulos retângulos ABC e CDE são tais que o ponto D está sobre o lado AB, conforme mostra a figura.

Sabendo que tg(α + β) = 1, tg α = 3/4 e que, dados os ângulos x e y, tg(x + y) = (tg x + tg y)/(1 − tg x · tg y), o valor da tg δ vale:
(A) 1/4
(B) 1/3
(C) 1/5
(D) 1/6
(E) 1/7

O objetivo desta questão é encontrar o valor da tangente de δ. A estratégia será usar as informações e fórmulas trigonométricas fornecidas para, em uma longa cadeia de deduções, isolar o valor que procuramos.

O plano de ataque é complexo e será dividido em duas grandes fases:

Fase 1: Encontrar o valor de tangente de beta e as dimensões do triângulo CDE.

1. Usar a fórmula da soma de arcos (tangente de α + β) e os valores dados para criar uma equação e isolar o valor de tangente de β.
2. Usar o valor de tangente de α no triângulo CBD para encontrar a medida do cateto BD.
3. Aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo CBD para encontrar a medida da hipotenusa CD.
4. Aplicar novamente o Teorema de Pitágoras, desta vez no triângulo CDE, para encontrar a medida do cateto DE.

Fase 2: Usar os novos dados para encontrar tangente de delta.

5. Agora, no triângulo CDE, podemos calcular a tangente de (β + δ) usando a razão entre o cateto oposto (DE) e o cateto adjacente (CD).
6. Aplicar novamente a fórmula da soma de arcos, desta vez para tangente de (β + δ). Isso nos dará uma nova equação onde a única incógnita é a tangente de δ.
7. Resolver esta equação final para encontrar o valor de tangente de δ.

Assista ao vídeo acima para ver a execução detalhada de cada um desses 7 passos e como eles se conectam para chegar à resposta final.