Albert Einstein, Vestibular

Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática: Juros Compostos e Logaritmo

Geraldo depositou R$ 1.000,00 em uma conta de investimento que rende p% por ano. Não tendo feito mais nenhum depósito nessa conta, após 30 anos, o saldo era de R$ 120.000,00. Usando $\log_{10} 2 = 0,301, \log_{10} 3 = 0,477$ e $10^{0,0231} = K$ , o valor de p é
(A) $100(K^3-1)$

(B) $100 (1 - \dfrac{1}{K^2})$

(C) $100( K^2 - 1)$

(D) $100(1 - \dfrac{1}{K})$

(E) $100(K-1)$

Propriedades Operatórias

Logaritmos:

$\log_a b^n = n \log_a b$

$\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$

$\log_a a = 1$

Potenciação:

$\left( a^m \right)^n = a^{m \cdot n}$

RESOLUÇÃO

A fórmula do Valor Futuro a Juros Compostos é:

$FV = PV (1+i)^n$

Onde:

FV = Valor Futuro
PV = Valor Presente
i = taxa de juros
n = número de períodos (tempo)

A questão nos dá:

FV = 120000
PV = 1000
i = p% ao ano
n = 30 anos

Usando esses dados, temos a seguinte equação:

$1000 \left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = 120000$

$\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = \dfrac{120000}{1000}$

$\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = 120$

Aplicando $\log_{10}$ em ambos lados:

$\log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = \log_{10}120$

$30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}120$

Fazendo $120 = 2^2 \cdot 3 \cdot 10$

$30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}(2^2 \cdot 3 \cdot 10)$

$30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}2^2 + \log_{10} 3 + \log_{10}10$

$30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2 \cdot \log_{10} 2 + 0,477 + 1$

$30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2 \cdot 0,301 + 1,477$

$30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =0,602 + 1,477$

$30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2,079$

$\log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \dfrac{2,079}{30}$

$\log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = 0,0693$

Aplicando a definição de logaritmo:

$1 + \dfrac{p}{100} =10^{0,0693}$

O passo-chave para usarmos $10^{0,0231} =K$ é reescrever $0,0693 = 0,0231 \cdot 3$ . Assim:

$1 + \dfrac{p}{100} =10^{0,0231 \cdot 3}$

$1 + \dfrac{p}{100} =\left( 10^{0,0231}\right)^3$

$1 + \dfrac{p}{100} = K^3$

$\dfrac{p}{100} = K^3 -1$

$\boxed{p = 100 (k^3 - 1)}$

✅ Resposta correta: (A) $100(K^3-1)$

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