Em um grupo de 35 ciclistas, Natália é a mais experiente e já competiu em 48 provas. A média dos números de provas que esses 35 ciclistas já competiram excede em 0,2 a média dos números de provas que esses ciclistas já competiram excetuando-se Natália.
A soma dos números de provas que esses 35 ciclistas já competiram é igual a
(A) 1 430.
(B) 1 442.
(C) 1 416.
(D) 1 420.
(E) 1 432.
Resolução
Vamos chamar de \( \overline{x} \) a média do número de provas destes ciclistas excluindo-se Natália e de \( \overline{x_n}\) a média incluindo Natália.
Também denotaremos de \( S \) a soma de provas excluindo-se Natália e de \(S_n\) a quantidade de provas incluindo Natália.
Isso nos dá \( \overline{x} = \dfrac{S}{34} \) e, também \( \overline{x_n} = \dfrac{S_n}{35} \)
De acordo com o enunciado, temos a seguinte relação.
$$ \overline{x_n} = \overline{x} + 0,2 $$
$$ \dfrac{S_n}{35} = \dfrac{S}{34} +0,2 $$
Como Natália já competiu em 48 provas, podemos dizer que \(S_n = S + 48 \).
$$ \dfrac{S+48}{35} = \dfrac{S}{34} +0,2 $$
$$ S+48= 35 \cdot \left( \dfrac{S}{34} + 0,2 \right) $$
$$ S+48= \dfrac{35S}{34} +7$$
$$ 48 – 7 = \dfrac{35S}{34} – S$$
$$ 41 = \dfrac{35S – 34S}{34} $$
$$ 34\cdot 41 = S $$
$$ S = 1394$$
Como queremos a soma do número de provas que os 35 ciclistas competiram, devemos incluir Natália.
$$ S_n = 1394 + 48$$
$$ S_n = \fbox{1442} $$
Portanto,a quantidade de provas que esses ciclistas já competiram é dada pela alternativa (B) 1 442.