O método da bisseção é um algoritmo usado para encontrar aproximações das raízes de uma equação. Começa-se com um intervalo [a,b], que contém uma raiz, e, em cada passo do algoritmo, reduz-se o intervalo pela metade, usando-se um teorema para determinar se a raiz está à esquerda ou à direita do ponto médio do intervalo anterior. Ou seja, após o passo 1, obtém-se um intervalo de comprimento \(\dfrac{b-a}{2} \); após o passo 2, obtém-se um intervalo de comprimento \(\dfrac{b-a}{4} \); e após o passo n, obtém-se um intervalo de comprimento \(\dfrac{b-a}{2 n} \). Esse processo continua até que o intervalo obtido tenha comprimento menor que o erro máximo desejado para a aproximação.
Para aplicar esse método no intervalo [1,5], quantos passos serão necessários para obter-se um intervalo de comprimento menor que \(10^{-3} \)?
(A) 9
(B) 10
(C) 11
(D) 12
(E) 13
Queremos que o intervalo seja menor que \(10^{-3}\) e temos a informação do intervalo inicial que vai de 1 a 5.
\(a = 1\)
\(b = 5\)
\(b-a = 5-1=4\)
Precisamos descobrir qual o valor de \(n\) tal que \(\dfrac{5-1}{2^n} < 10^{-3}\)
\(\dfrac{4}{2^n} < 10^{-3} \Rightarrow \dfrac{2^2}{2^n} < 10^{-3}\)
Usando a propriedade: \(\dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\)
\(2^{2-n} < 10^{-3}\)
Outra propriedade: \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)
\(\dfrac{1}{2^{n-2}} < \dfrac{1}{10^3}\)
Uma outra propriedade: \(a<b \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}\)
\(2^{n-2} > 10^3\)
Como \(10^3 = 1000\), vamos procurar a menor potência de dois que seja maior do que mil.
\(2^0 = 1\)
\(2^1 = 2\)
\(2^2 = 4\)
\(2^3 = 8\)
\(2^4 = 16\)
\(2^5 = 32\)
\(2^6 = 64\)
\(2^7 = 128\)
\(2^8 = 256\)
\(2^9 = 512\)
\(2^{10} = 1024\)
Como \(2^{10} = 1024 > 1000\), podemos obter o valor de \(n\) através da equação:
\(2^{n-2} = 2^{10} \)
\(n-2= 10\)
\(n = 10 + 2 \)
\(n = \boxed{12}\)
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