As dimensões de um paralelepípedo retorretângulo são representadas por a, b e c, tal que \( a < b < c \). A média aritmética dos comprimentos das 12 arestas desse paralelepípedo é igual a 10 cm. Sabendo que as somas \(a + b = 11\) cm e \(b + c = 27 \) cm, o volume desse paralelepípedo é igual a
(A) 420 cm³.
(B) 660 cm³.
(C) 456 cm³.
(D) 572 cm³.
(E) 312 cm³.
Resolução
Um paralelepípedo retorretângulo de arestas a, b e c terá 12 arestas sendo 4 arestas de cada medida, sabendo que a média aritmética dessas arestas é igual a 10, teremos:
$$ \dfrac{4\cdot( a+b+c)}{12} = 10 $$
$$ \dfrac{ a+b+c}{3} = 10 $$
$$ a+b+c = 30 $$
Temos um sistema com três equações
$$ \begin{cases} a+b+c = 30 \qquad (I) \\ a+b = 11 \qquad (II) \\ b+c = 27 \qquad (III) \end{cases} $$
Substituindo (II) em (I):
$$ 11 + c = 30 \\ c = 30 – 11 \\ c = \fbox{19} $$
Substituindo (III) em (I):
$$ a + 27 = 30 \\ a = 30 – 27 \\ a = \fbox{3}$$
Substituindo os valores de a e b em (I)
$$ 3 + b + 19 = 30 \\ b+ 22 = 30 \\ b = 30 – 22 \\ b = \fbox{8} $$
Com as medidas da arestas conhecidas, vamos calcular o volume do paralelepípedo:
$$ V = a \cdot b \cdot c \\ V = 3 \cdot 8 \cdot 19 \\ V = \fbox{456} $$
Portanto, a resposta de gabarito será a alternativa (C) 456 cm³.