No plano cartesiano, foram desenhados 4 quadrados e 3 triângulos equiláteros, de maneira a terem lados em comum, todos de medida 4 cm. Um dos quadrados tem um vértice sobre a origem e outros dois vértices sobre os eixos x e y.
A distância entre os vértices P e Q desses quadrados é igual a:
(A) \(4 \sqrt{3} \) cm
(B) \(3 \sqrt{2} \) cm
(C) \(2 \sqrt{6} \) cm
(D) \(5 \sqrt{2} \) cm
(E) \(5 \sqrt{3} \) cm
Resolução
Inicialmente, faremos algumas marcações no desenho.
Vamos chamar a distância entre os vértices P e Q de x e, lembrando que os ângulos internos de um triângulo equilátero medem 60º e os de um quadrado medem 90º, temos:
Como, tanto um ângulo raso, como a soma dos ângulos internos de um triângulo resultam em 180º, teremos o triângulo isósceles destacado em amarelo com dois ângulos de 30º e um de 120º, também teremos dois lados com medida de 4cm e um lado com medida x (projeção da distância PQ).
Agora, para descobrirmos a distância PQ, basta obter a medida x do triângulo isósceles, o que faremos de dois modos diferentes:
Modo I: Lei dos Cossenos
Utilizando a lei dos cossenos, temos:
$$ x^2 = 4^2 + 4^2 – 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 120^{\circ}$$
Como \( \cos 120^{\circ} = – \dfrac{1}{2}\), teremos:
$$ x^2 = 16 + 16 – 2 \cdot 16 \cdot \left( – \dfrac{1}{2} \right)$$
Vamos multiplicar \( -2 \cdot \left( – \dfrac{1}{2} \right) = 1 \)
$$ x^2 = 16 + 16 + 16$$
$$ x^2 = 3 \cdot 16 $$
$$ x = \sqrt{3 \cdot 16}$$
$$ x = 4\sqrt{3}$$
Modo II: Lei dos Senos
Utilizando a lei dos senos, temos:
$$ \dfrac{x}{\textrm{sen } 120^{\circ}} = \dfrac{4}{\textrm{sen }30^{\circ}}$$
$$ x = \textrm{sen } 120^{\circ} \cdot \dfrac{4}{\textrm{sen }30^{\circ}}$$
Lembrando que:
\( \textrm{sen } 120^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \textrm{sen } 30^{\circ} = \dfrac{1}{2} \)
Teremos:
$$ x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{4}{\dfrac{1}{2}} $$
O que nos dá:
$$ x = \dfrac{ \sqrt{3} \cdot 4}{2 \cdot \dfrac{1}{2}} $$
$$ x = 4\sqrt{3}$$
Conclusão:
Conforme pudemos observar, tanto usando a lei dos cossenos, quanto a lei dos senos, a nossa resposta de gabarito será:
Alternativa: (A) \(4 \sqrt{3} \) cm