Matemática para Vestibulares

Foco em Medicina

professorlg

UNIFESP 2026 – Imagem de uma Função e Função Quadrática | Questão 19 Resolvida

by Leave a Comment

Sejam a, b, c e p constantes reais. A lei de formação de uma função \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) e seu respectivo gráfico são dados a seguir:

\(f(x) = \begin{cases} – x+2, \qquad\text{se } x<p \\ x- 6, \qquad \text{se } p \leq x < 9 \\ ax^2 + bx + c, \qquad \text{se } x \geq 9 \end{cases}\)

Gráfico de função definida por partes composta por uma reta decrescente para x menor ou igual a p e uma parábola para x maior que p. Interseção das funções no ponto de abscissa p - UNIFESP 2026

a) Sabendo que os gráficos das funções \(g(x) = -x + 2\) e \(h(x) = x – 6\) se intersectam no ponto de abscissa p, determine a imagem de f.


b) Sabendo que f(9) = 3, determine f(21).

Resolução (a)

Para obtermos a imagem de f, devemos observar que tanto para \(x < p\) como para \(x \geq 9\) o gráfico da função cresce infinitamente, sendo assim, devemos procurar o valor mínimo da função de f, que ocorre para x = p.

Para obtermos o valor de p, vamos obter a intersecção de g(x) com h(x).

\(-x + 2 = x – 6\)

\(– x – x = – 6 – 2\)

\(-2x = -8 \Rightarrow 2x = 8\)

\(x = \dfrac{8}{2}\)

\(x = \fbox{4}\)

Agora, calculamos \(f(4) = -4 + 6 = -2\)

Concluímos que o valor mínimo da função f é -2 e, consequentemente, sua imagem será:

\(Im_f =\{ y \in \mathbb{R} | y \geq -2\}\)

Resolução (b)

A função quadrática \(f(x) = ax^2 +bx + c\) pode ser reescrita na forma canônica da seguinte maneira:

\(f(x) = a(x – x_v)^2 + y_v\)

Observando, pelo gráfico, que o vértice da parábola é o ponto V(12,0), a função fica:

\(f(x) = a (x – 12)^2 + 0\)

Como é informado que f(9) = 3, temos:

\(a(9-12)^2 = 3\)

\(a(-3)^2 = 3\)

\(9a = 3\)

\(a = \dfrac{3}{9} \Rightarrow a = \dfrac{1}{3}\)

Temos então \(f(x) = \dfrac{1}{3}(x-12)^2\)

Podemos agora calcular f(21)

\(f(21) = \dfrac{1}{3}(21- 12)^2\)

\(f(21) = \dfrac{1}{3}(9)^2\)

\(f(21) = \dfrac{81}{3}\)

\(f(21) = \fbox{27}\)

Portanto, concluímos que f(21) = 27.

UNIFESP 2026 – Geometria Plana | Questão 18 Resolvida

by Leave a Comment

No plano, o segmento PS intersecta os lados do quadrado ABCD nos pontos Q e R, conforme a figura.

Segmento PS intersectando o quadrado ABCD nos pontos Q e R. Triângulos retângulos PQA e QRT em um plano cartesiano. Geometria Plana UNIFESP 2026.

a) Se a medida x do segmento PA for igual a 9 cm, qual será a área do quadrado ABCD?
b) Se a medida y do segmento RS for igual a 14 cm, qual será a área do triângulo QRT?

Resolução (a)

Observando a figura, podemos notar que o lado do quadrado ABCD tem a mesma medida que o lado QT do triângulo QRT.

Como os triângulos QRT e PQA são triângulos retângulos semelhantes, seus lados são proporcionais e podemos usar uma regra de três simples para obter a medida de QT.

\(\dfrac{10}{9} = \dfrac{12}{(QT)}\)

Multiplicando em cruz:

\(10(QT) = 12 \cdot 9\)

\(QT = \dfrac{108}{10}\)

\(QT = 10,8\)

Agora, que conhecemos o lado do quadrado ABCD (10,8 cm), podemos calcular sua área:

\(A_{\square} = 10,8^2\)

\(A_{\square} = 116,64\)

Portanto, a área do quadrado ABCD é de 116,64 cm²

Resolução (b)

Inicialmente, vamos prolongar o segmento PB até um ponto V, coincidente com projeção perpendicular de S nesse segmento.

Diagrama geométrico com o prolongamento do segmento PB até o ponto V e a projeção perpendicular de S, formando o triângulo retângulo PSV semelhante ao triângulo QRT. Resolução UNIFESP.

Dessa forma, teremos que os triângulos QRT e PSV são semelhantes, o que nos permite estabelecer a seguinte relação:

\(\dfrac{SV}{RT} = \dfrac{10+12+14}{12}\)

\(\dfrac{SV}{RT} = \dfrac{36}{12}\)

\(\dfrac{SV}{RT} = 3\)

\(SV = 3(RT)\)

Como SV coincide com o lado do quadrado ABCD e também a medida do lado do quadrado é igual a medida de QT, temos a seguinte relação entre os catetos do triângulo QRT

\(QT = 3(RT)\)

Antes de aplicar o teorema de Pitágoras, vamos focar no que o exercício pede, ou seja, a área do triângulo QRT

\(A_{\Delta} = \dfrac{(QT) \cdot (RT)}{2}\)

\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT) \cdot (RT)}{2}\)

\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT)^2}{2}\)

Note que com essas substituições feitas, a área do triângulo QRT depende unicamente de descobrirmos a medida de (RT)², a qual será obtida aplicando o Teorema de Pitágoras.

\((RT)^2 + (QT)^2 = 12^2\)

\((RT)^2 + [3\cdot (RT)]^2 = 144\)

\((RT)^2 + 9 \cdot (RT)^2 = 144\)

\(10 \cdot (RT)^2 = 144\)

\((RT)^2 = \dfrac{144}{10}\)

\((RT)^2 = 14,4\)

Agora que descobrimos \((RT)^2\), podemos obter a área do triângulo QRT:

\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT)^2}{2}\)

\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot 14,4}{2}\)

\(A_{\Delta} = \dfrac{43,2}{2}\)

\(A_{\Delta} = \fbox{21,6}\)

Concluímos que a área do triângulo QRT é de 21,6 cm².

UNIFESP 2026 – Média Aritmética e P.A.| Questão 17 Resolvida

by Leave a Comment

Um time de basquetebol disputou 20 jogos em um torneio escolar. Nos 10 primeiros jogos disputados, os números de pontos que esse time marcou foram, respectivamente, 62, 75, 62, 89, 78, 51, 86, 63, 87 e 47.

a) Seja M4 a média dos números de pontos marcados por esse time nos 4 primeiros jogos. Sabendo que, nos 10 primeiros jogos, esse time venceu apenas aqueles em que marcou mais do que M4 pontos, quantos jogos esse time venceu nessas 10 primeiras disputas?

b) Nos 10 últimos jogos disputados por esse time, os respectivos números de pontos marcados por jogo formaram uma progressão aritmética de razão 6. Sabendo que o total de pontos marcados pelo time nos 10 primeiros jogos foi igual ao total de pontos marcados nos 10 últimos jogos, quantos pontos foram marcados no 16º jogo?

Resolução (a)

A pontuação nas 4 primeiras partidas foram 62, 75, 62 e 89, com isso podemos calcular a pontuação média:

\(M_4 = \dfrac{62+75+62+89}{4} = \dfrac{288}{4} = \fbox{72}\)

Isso significa que, nas 10 primeiras partidas esse time venceu apenas àquelas com pontuação superior a 72 pontos.

As pontuações das primeiras dez partidas foram:

62, 75, 62, 89, 78, 51, 86, 63, 87 e 47.

Dentre essas pontuações, vamos contar apenas as superiores a 72 pontos:

75, 89, 78, 86 e 87

O que nos dá um total de 5 vitórias.

Resolução (b)

Inicialmente, vamos calcular o somatório da pontuação dos 10 primeiros jogos:

62 + 75 + 62 + 89 + 78 + 51 + 86 + 63 + 87 + 47 = 700

Vamos considerar a pontuação do 11º jogo como sendo a1 e a do 20º como sendo a10, com esse ajuste, a pontuação da 16º jogo será o termo a6 da progressão aritmética.

Sabemos que a fórmula do termos geral da P.A. e da soma dos termos de uma P.A. são, respectivamente:

\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \)

\(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}\)

Temos, então:

\(S_{10} = 700\) e \(r =6\)

\(\dfrac{(a_1 + a_{10})\cdot 10}{2} = 700\)

\((a_1 + a_{10}) = \dfrac{2 \cdot 700}{10}\)

\(a_1 + a_{10} = 140\)

Desenvolvendo a10

\(a_1 + a_1 + (10 – 1)\cdot 6 = 140\)

\(2a_1 + 9\cdot 6 = 140\)

\(2a_1 + 54 = 140\)

\(2a_1 = 140 – 54\)

\(a_1 = \dfrac{86}{2}\)

\(a_1 = \fbox{43}\)

Sabendo o valor de a1, vamos obter a6 pela fórmula do termo geral:

\(a_6 = 43 + (6-1)\cdot 6\)

\(a_6 = 43 + 5 \cdot 6\)

\(a_6 = 43 + 30\)

\(a_6 = \fbox{73}\)

Portanto, concluímos que no 16º jogo forma marcados 73 pontos.

Uma forma alternativa de resolver essa questão, usando a mesma notação de a6 para o 16º jogo seria a seguinte.

Utilizando que a soma igual a 700 e pela simetria dos termos equidistantes dos extremos, temos:

\(a_5 + a_6 = a_1 + a_{10} = 140\)

\(a_6 – a_ 5 = 6\)

Temos o sistema:

\(\begin{cases} a_6 + a_5 = 140 \\ a_6 -a_5 = 6 \end{cases}\)

Somando as duas equações:

\(2\cdot a_6 = 146\)

\(a_6 = \dfrac{146}{2}\)

\(a_6 = \fbox{73}\)

O que nos leva ao mesmo resultado de 73 pontos no 16º jogo.




UNIFESP 2026 – Probabilidade e Análise Combinatória | Questão 16 Resolvida

by Leave a Comment

Uma caixa contém prismas regulares, todos distintos entre si em relação a quatro características: o material de que são feitos (plástico ou acrílico), sua altura (10 cm, 15 cm, 20 cm ou 25 cm), sua cor (amarela, azul, verde ou vermelha) e o polígono que forma sua base (triângulo, quadrado, pentágono, hexágono ou heptágono). As arestas das bases desses prismas têm a mesma medida, e a caixa contém prismas com todas as combinações possíveis das características indicadas.

a) Ao se escolher aleatoriamente um desses prismas, qual a probabilidade de ele ser de plástico, mas não ser da cor azul?

b) Dois prismas quaisquer são distintos em uma, duas, três ou quatro características. Por exemplo, o prisma triangular, de 10 cm de altura, vermelho, feito de plástico, tem três características distintas do prisma pentagonal, de 10 cm de altura, azul, feito de acrílico. Determine quantos prismas nessa caixa são distintos em exatamente duas características do prisma heptagonal, de 20 cm de altura, verde, feito de acrílico.

RESOLUÇÃO (a)

Apesar de termos 4 características, nessa questão vamos trabalhar apenas com as duas características citadas, material e cor.

A probabilidade que procuramos é a que o prisma seja de plástico e não seja azul, vamos calcular essas duas probabilidades separadamente:

\(P(M_P) = \dfrac{1}{2}\)

\(P(C_A) =\dfrac{1}{4} \Rightarrow P(\overline{C_A}) = 1 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)

Como essas probabilidades são independentes, teremos:

\(P(M_p \cap \overline{C_A}) = P(M_P) \times P(\overline{C_A})\)

\(P(M_P \cap \overline{C_A}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8}\)

Portanto, a probabilidade de se escolher um prisma de plástico mas não ser da cor azul é de \(\dfrac{3}{8}\).

RESOLUÇÃO (b)

As características e o número de opções são:
Material: 2 opções
Altura: 4 opções
Cor: 4 opções
Base: 5 opções

A quantidade de maneiras distintas de se diferenciar por 2 características é dada por \(C_{4,2} = 6\)

Note que devemos ter exatamente 2 características distintas, isso implica que as outras duas características devem ser iguais.
As características iguais não irão influenciar na quantidade pois, nesse caso, teremos apenas uma escolha que é repetir a característica.

Vamos separar os casos pelas características distintas e fazer o produto do número de escolhas em cada caso:
Note que a quantidade de escolhas em cada caso é obtido tirando uma unidade das opções da característica que não queremos repetir.

Material e Altura: \(1\times 3 = 3\)
Material e Cor: \(1 \times 3 = 3\)
Material e Base: \(1 \times 4 = 4\)
Altura e Cor: \(3 \times 3 = 9\)
Altura e Base: \(3 \times 4 = 12\)
Cor e Base: \(3 \times 4 = 12\)

Somando todos os casos:

\(3 + 3 + 4 + 9 + 12 + 12 = \fbox{43}\)

Portanto, concluímos que há 43 prismas nessa caixa que são distintos em exatamente duas características do prisma heptagonal, de 20 cm de altura, verde, feito de acrílico.

Uni-FACEF Medicina 2026 – Probabilidade | Questão 09 Resolvida

by Leave a Comment

Ana e Bia pensaram, de forma aleatória e independentemente uma da outra, em um número inteiro maior do que 1 e menor do que 10. A probabilidade de que a diferença entre esses dois números (considerada nula ou positiva) seja menor do que 2 é

(A) 11/64
(B) 11/32
(C) 15/32
(D) 11/16
(E) 15/64

Resolução:

Inicialmente, vamos determinar os números que podem ser escolhidos. A informação do enunciado nos diz que cada uma pode escolher um número inteiro maior do que 1 e menor do que 10, o que nos dá as possibilidades:

2, 3 ,4 ,5 ,6, 7, 8, 9

Temos 8 possibilidades de escolha para cada uma delas, o que nos dará, a seguinte dimensão de espaço amostral:

\(n(\Omega) =8 \times 8 = 64\)

A diferença entre esses dois números deve ser menor do que 2, então, vamos fixar a primeira escolha sendo a de Ana e depois a de Bia.

1º Caso: Bia pensa no mesmo número que Ana. (A – B = 0)

Neste caso, Ana tem 8 possibilidades e Bia, deve escolher o mesmo número, restringindo sua escolha a 1 possibilidade.

\(8 \times 1 = 8\)

2° Caso: Bia pensa no sucessor da escolha de Ana (A – B = -1)

Neste caso, Ana tem 7 possibilidades, pois o número 9 não terá sucessor no conjunto de possibilidades de escolhas e, novamente, a escolha de Bia se restringe a uma única possibilidade, o sucessor do número de Ana.

\(7 \times 1 = 7\)

3º Caso: Bia pensa no antecessor da escolha de Ana (A – B = 1)

É uma caso similar ao segundo, só que dessa vez o número 2 não terá antecessor no conjunto de possibilidades de escolhas para Ana, que terá 7 opções e, novamente, Bia fica restrita a uma única escolha.

\(7 \times 1 = 7\)

Agora, podemos calcular a probabilidade da diferença entre as escolhas de Ana e Bia serem menores do que 2, vamos chamar esse evento de D, e assim teremos:

\(P(D) = \dfrac{8+2 \times 7}{64}\)

\(P(D) = \dfrac{8+14}{64}\)

\(P(D) = \dfrac{22}{64}\)

Simplificando o numerador e o denominador (ambos pares)

\(P(D) = \dfrac{11}{32}\)

O que nos dá alternativa (B) 11/32 como gabarito.

Visualmente poderíamos criar uma tabela de diferenças modulares, considere a primeira linha escolhas da Ana e a primeira coluna as escolhas da Bia.

Δ23456789
201234567
310123466
421012345
532101234
643210123
754321012
865432101
976543210

Note que temos uma matriz de diferenças modulares 8 por 8 com uma diagonal de 8 elementos com diferença 0 (zero) e 2 diagonais de 7 elementos com diferença 1.

O que nos confirma \(P(D) = \dfrac{8+7+7}{8\times8} = \dfrac{22}{64} = \dfrac{11}{32}\)

Alternativa (B) 11/32

Uni-FACEF Medicina 2026 – Porcentagem e Média | Questão 08 Resolvida

by Leave a Comment

Uma empresa funciona em um prédio de 20 andares, sendo que nos 3 primeiros andares trabalham os funcionários do setor de serviço de atendimento ao cliente (SAC). Considerando todos os andares, a média dos números de funcionários por andar é igual a 32. Se 20% do total de funcionários são do SAC, o número de funcionários que não são do SAC é igual a

(A) 336.
(B) 484.
(C) 512.
(D) 320.
(E) 436.

Resolução

Se a média de funcionário por andar é 32 e o prédio tem 20 andares, podemos calcular a quantidade de funcionários pelo produto:

\(\textbf{TOTAL: }20 \times 32 = 640\)

Como 20% do total de funcionários são do SAC, a porcentagem de funcionários que não são do SAC é

(100 – 20)% = 80%.

Para obtermos o número de funcionários que não são do SAC, basta calcularmos 80% de 640.

\(\dfrac{80}{100} \times 640 = \fbox{512}\)

E, portanto a alternativa de gabarito é: (C) 512.

💡 Dica do Professor LG

Nessa questão o examinador poderia ter criado uma pegadinha interessante, quando ele cita que o pessoal do SAC trabalha nos três primeiros andares e que a média é de 32 pessoas por andar, isso poderia induzir algumas pessoas a calcular \(3 \times 32 = 96\) e usar esse valor como número de funcionários do SAC. Dessa forma, colocando uma alternativa 640 – 96 = 544, derrubaria alguns candidatos.

Uni-FACEF Medicina 2026 – Volume da Pirâmide e Teorema de Pitágoras | Questão 07 Resolvida

by Leave a Comment

Um cubo de aresta 3 cm tem uma face que é a base de uma pirâmide de vértice V, conforme mostra a figura.

Cubo de aresta 3 cm com uma pirâmide acoplada em sua face superior. Vértice V destacado e aresta lateral perpendicular à base. Questão de Geometria Espacial Uni-FACEF Medicina 2026.

Observando que uma aresta lateral da pirâmide é perpendicular à sua base e sabendo que a razão entre os volumes da pirâmide e do cubo é igual a \(\dfrac{4}{9}\) , a medida da aresta VA é

(A) \(5 \sqrt{2}\)cm
(B) \(6 \) cm
(C) \(3 \sqrt{3}\)cm
(D) \(5 \) cm
(E) \(3 \sqrt{2}\)cm

Resolução

Vamos denominar de B o vértice da pirâmide que, juntamente com o vértice V, determinam a aresta lateral perpendicular à base da pirâmide.

Diagrama do triângulo retângulo VBA extraído da pirâmide, com catetos medindo 3 cm e 4 cm, destacando a hipotenusa VA como aresta lateral. Aplicação do Teorema de Pitágoras.

Os vértices V, B e A, formam um triângulo retângulo, o lado VA é justamente a hipotenusa desse triângulo e o lado BA mede 3 cm.

A estratégia será descobrir a medida do veŕtice VB e aplicando o teorema de Pitágoras obter a medida da aresta VA.

Calculando o volume da pirâmide e do cubo:

\(V_p = \dfrac{1}{3}[ 3^2 \cdot (VB)] = \dfrac{9 \cdot VB}{3} = 3 \cdot(VB)\)

\(V_c = 3^3 = 27\)

A razão entre os volumes da pirâmide e do cubo é \(\dfrac{4}{9}\), sendo assim:

\(\dfrac{3 \cdot(VB)}{27} = \dfrac{4}{9}\)

Simplificando o lado esquerdo da equação:

\(\dfrac{(VB)}{9} = \dfrac{4}{9}\)

Multiplicando ambos os lados da equação por 9

\((VB) = 4\)

Isso nos dá um triângulo retângulo com catetos (VB) = 4 e (BA) = 3.

Nesse momento, podemos finalizar a questão lembrando do mais conhecido terno pitagórico (3,4,5), ou aplicar e desenvolver o teorema de Pitágoras:

\((VA)^2 = 3^2 + 4^2\)

\((VA)^2 = 9+16\)

\((VA)^2 = 25\)

\((VA) = \sqrt{25}\)

\((VA) = \fbox{5}\)

Alternativa (D) 5 cm

Uni-FACEF Medicina 2026 – Semelhança de Triângulos | Questão 06 Resolvida

by Leave a Comment

Os vértices de um quadrado Q1, de área 36 cm², estão sobre os lados de um triângulo retângulo ABC e um quadrado Q2, de área 4 cm², tem um vértice em comum com Q1 e outros dois vértices sobre os lados do triângulo ABC, conforme mostra a figura.

Esquema de semelhança de triângulos com quadrados de lados 6 cm e 2 cm inscritos em triângulo retângulo. Destaque para a razão de semelhança entre os triângulos parciais. Uni-FACEF 2026.


A área do triângulo ABC é

(A) 81 cm².
(B) 64 cm².
(C) 121 cm².
(D) 72 cm².
(E) 100 cm².

Uni-FACEF Medicina 2026 – Função Quadrática | Questão 04 Resolvida

by Leave a Comment

Os pontos A(- 3, 4) e B(5, 4) são vértices do quadrado ABCD e estão sobre a parábola definida pela função \(f(x) = x^2 – 2x – q\), sendo q uma constante real, e o ponto M é médio do lado CD.

Gráfico de função quadrática f(x) = (x-1)² - 12 com quadrado ABCD e destaque para o eixo de simetria x = 1, contendo o vértice V e o ponto médio M. Resolução Uni-FACEF Medicina 2026.


A distância entre o vértice V da parábola e o ponto M é igual a

(A) 25.
(B) 27.
(C) 26.
(D) 28.
(E) 24.

Resolução

Inicialmente, vamos descobrir a medida do lado do quadrado ABCD.
Como AB é paralelo ao eixo x, podemos fazer:
\(d_{AB} = |5 – (-3)| = |5+3| = |8| = 8\)

Com essa informação, podemos obter as coordenadas de D e C, para isso, basta mantermos as abscissas de A e B respectivamente e somarmos 8 ao valor de suas ordenadas.

D(-3, 4+8) → D(-3,12)
C(5,4+8) → C(5,12)

Como o ponto M é o ponto médio do lado DC, temos;

\(M \left( \dfrac{-3+5}{2}, \dfrac{12+12}{2} \right) \to M (1,12) \)

Agora que já sabemos as coordenadas de M(1,12), vamos buscar as coordenadas do vértice V.

Sabemos que o ponto B(5,4) pertence à parábola, logo \(f(5) = 4\).

\(f(5) = 5^2 – 2 \cdot 5 – q = 4\)

\( 25 – 10 – q = 4\)

\(15 – q = 4\)

\(-q = 4 – 15 \to -q = -11\)

\(q=11\)

Utilizando q = 11, a função fica \(f(x) = x^2 – 2x – 11\)

Como, tanto M como V pertencem ao eixo de simetria, temos que a abscissa de V é igual à abscissa de M = 1 e, portanto se calcularmos f(1) obteremos a ordenada do Vértice V.

\(f(1) = 1^2 – 2\cdot 1 – 11 = 1 – 2 – 11 = -12\)

O que nos dá V(1,-12) e M(1,12).

Finalizamos obtendo a distância entre os pontos V e M, utilizando o fato de que eles estão no eixo de simetria, paralelo ao eixo y.

\(d_{VM} = |12 – (-12)| = |12 +12| = |24| = \fbox{24}\)

O que nos dá como resposta de gabarito: (E) 24.

Uni-FACEF Medicina 2026 – Sistema de Equações | Questão 03 Resolvida

by Leave a Comment

André, Bruno, Carlos e Denis estão sentados ao redor de uma mesa quadrada. Cada um deles pensou em um número, escreveu-o em uma folha de papel e mostrou-o apenas para os dois amigos que estão ao seu lado. Em seguida, cada amigo somou os dois números que viu, subtraiu da soma o número que havia pensado e escreveu o resultado final em outra folha de papel, colocando-a sobre a mesa, à sua frente. Por exemplo, Denis viu os números de André e Carlos (os dois que estão ao seu lado), somou esses números, subtraiu o número que havia pensado e escreveu o resultado final, que foi 12, na folha de papel. A figura mostra a disposição dos amigos à mesa e as folhas de papel com os resultados finais obtidos por eles.

Diagrama de mesa quadrada com quatro pessoas (André, Bruno, Carlos e Denis) e seus resultados lógicos. Destaque para a relação entre os números pensados por Denis e Bruno, que compartilham os mesmos vizinhos. Questão Uni-FACEF 2026.


Denis pensou no número 3 e Bruno pensou no número

(A) 11.
(B) 12.
(C) 4.
(D) 9.
(E) 1.

Resolução

Vamos focar em dois dos personagens, Denis e Bruno.

Podemos traduzir a situação do Denis com a equação:

A + C – D = 12 (Equação I)

E a do Bruno como:

A + C – B = 4 (Equação II)

Usando a informação que Denis pensou no número 3, reescrevemos a Equação I.

A + C – 3 = 12

Somando 3 em ambos lados da equação:

A + C = 12 + 3

A + C = 15

Esse resultado (A + C = 15), permite uma substituição na Equação II, que ficará:

15 – B = 4

15 – 4 = B

E, portanto:

B = 11

O que nos dá como resposta de gabarito (A) 11.

Note que,apesar de ser possível escrever uma equação para cada um dos personagens, épossível focar apenas no Denis (que me trazia uma informação importante) e no Bruno (personagem cujo número pensado eu quero descobrir).

Isso é típico de questões de vestibulares que querem selecionar não apenas quem sabe resolver, mas também os candidatos que resolvem de forma mais eficiente.

Uni-FACEF Medicina 2026 – Análise Combinatória | Questão 02 Resolvida

by Leave a Comment

Um grupo de 10 alunos ficou responsável pela apresentação de um trabalho de química na feira de ciências da escola, que ocorrerá nos períodos matutino e vespertino de certo sábado.
Para o período matutino, ficou decidido que 7 desses alunos deveriam participar. Se, dos 10 alunos, apenas Rodrigo não pode comparecer pela manhã, o número de maneiras distintas de escolher os 7 alunos para esse período é

(A) 36.
(B) 48.
(C) 60.
(D) 72.
(E) 120.

Resolução

A primeira observação a ser feita nessa questão é que a ordem não importa. Sendo assim trata-se de uma questão de combinação e a fórmula utilizada é \(C_{n,p} = \dfrac{n!}{p! \cdot (n-p)!}\), onde n é o número total de elementos do conjunto original e p é o número de elementos que precisamos escolher.

No enunciado somos informados que Rodrigo não pode comparecer pela manhã, isso reduz a quantidade de alunos disponíveis a participar, logo, teremos \(n = 10 – 1 \to n = 9 \text{ e } p = 7\).

Aplicando a fórmula:

\(C_{9,7} = \dfrac{9!}{7!\cdot (9-7)!}\)

\(C_{9,7} = \dfrac{9!}{7!\cdot 2!}\)

Simplificando 7!, temos:

\(C_{9,7} = \dfrac{9\cdot 8 \cdot \not{7}!}{\not{7}!\cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{9 \cdot 8}{2}\)

Dividindo o numerador e o denominador por 2:

\(C_{9,7} = \dfrac{9\cdot \not{8}^4}{\not{2}}\)

\(C_{9,7} = 9 \cdot 4 = \fbox{36}\)

Portanto, teremos 36 maneiras distintas de escolher o grupo de 7 alunos.

Gabarito: (A) 36.

Esse questão trouxe como um distrator a alternativa (E) 120, pois, caso se esqueça de se subtrair o aluno Rodrigo do grupo de 10 alunos, teríamos \(C_{10,7} = 120\).